配線の発熱

発熱と抵抗

電流 $I$ が抵抗 $R$ を流れると、毎秒 $I^{2}R$ の熱が出ます（ジュール熱）。抵抗は材料の抵抗率 $\rho$、長さ $L$、断面積 $A$ で決まり、抵抗率は温度とともに増えます。

銅の $\alpha$ は 0.39 %/K で、100 K 上がると抵抗はおよそ 1.4 倍です。熱くなるほど発熱が増えるので、放熱が追いつかない電流では温度が上がり続け、融点に届くと溶断します。

表皮効果

交流では、電流が導体の表面に集まり、中ほどにはあまり流れません。電流が表面から $e$ 分の 1 に減る深さが表皮の深さ $\delta$ です。

丸線は Bessel 関数の厳密解で、交流抵抗と直流抵抗の比を求めます。半径 $a$ が $\delta$ よりずっと大きいと、比は $\frac{a}{2\delta }+\frac{1}{4}$ に近づきます。角線と基板の銅箔は、各面から指数関数的に減るとみなした実効厚さ $\delta (1-e^{-t/\delta })$ で電流の通り道を狭めます[3]。

放熱

線の表面からは、対流と放射で熱が逃げます。対流は温まった空気が昇って運ぶ熱で、横置きの円柱の式で熱伝達率 $h$ を求めます[1]。風があるときは強制対流の式[2]と合わせます。角線は外周の等しい丸線とみなします。

$p$ は外周、$T_s$ は表面の温度、$T_a$ は気温、$\epsilon$ は放射率です。放射は絶対温度の 4 乗で効くので、高温ほど急に大きくなります。被覆があるときは、被覆の熱抵抗の分だけ表面の温度が導体より低くなります。

線の中の熱の伝わり

線を長さ方向に 60 に分け、それぞれの区間で熱の出入りを数えます。区間の温度は、発熱から放熱と隣への伝導を引いた分だけ上がります。

$d$ は密度、$c$ は比熱、$k$ は熱伝導率、$k_{\mathrm{ac}}$ は交流抵抗の倍率です。端子を気温に固定すると、端の近くは熱が端子へ逃げて冷えます。時間は陰解法で進め、刻みは温度の変わり方に合わせて伸び縮みさせます。

「行き着く温度」は、端子の影響が届かない長い線の中ほどで、発熱と放熱が釣り合う温度です。「温度上昇 30 K の電流」と「溶断する電流」も同じ釣り合いから求めます。

周りの空気

熱い線の上には、温まった空気が細い筋になって昇ります（プルーム）。流れを数値で解く代わりに、層流のプルームの相似解で温度と速さを求めます。横置きの線の上では、中心の温度上昇は高さの −3/5 乗で下がり、幅は 2/5 乗で広がります[4]。

経路では、区間ごとに点の熱源のプルーム[5]を考えて重ねます。下の区間が温めた空気に包まれた区間は、対流で逃がせる熱が減ります。

基板

30 × 18 mm の基板を 0.25 mm 角の升に分けます。まず銅箔の電位を解き、電流の分布と升ごとの発熱を求めます。細い所や直角の内側の角では電流が集まり、発熱も集中します。次に、銅箔と基材（FR-4）の面内の熱伝導と、両面からの対流と放射で温度を進めます。

出典

1. 横置きの円柱の自然対流S. W. Churchill, H. H. S. Chu, “Correlating equations for laminar and turbulent free convection from a horizontal cylinder,” Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 18, no. 9, pp. 1049–1053, 1975
2. 円柱に直角に当たる風の強制対流S. W. Churchill, M. Bernstein, “A correlating equation for forced convection from gases and liquids to a circular cylinder in crossflow,” J. Heat Transfer, vol. 99, no. 2, pp. 300–306, 1977
3. 表皮の深さと、電流が片側の面から指数関数的に減るとみなした実効厚さC. P. Yue, S. S. Wong, “Physical Modeling of Spiral Inductors on Silicon,” IEEE Trans. Electron Devices, vol. 47, no. 3, pp. 560–568, 2000
4. 横置きの線の熱源の上の層流のプルームの相似解B. Gebhart, L. Pera, A. W. Schorr, “Steady laminar natural convection plumes above a horizontal line heat source,” Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 13, no. 1, pp. 161–171, 1970
5. 点の熱源の上の層流のプルームT. Fujii, “Theory of the steady laminar natural convection above a horizontal line heat source and a point heat source,” Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 6, no. 7, pp. 597–606, 1963

このツールで決めたこと

• 材料の値は 20 °C の代表値。抵抗率は温度係数で直線に伸ばし、密度・比熱・熱伝導率は温度で変えない
• 放射率は光沢 0.05・酸化 0.6・被覆 0.9。被覆は厚さ 0.4 mm の PVC で、耐熱は 105 °C とする
• 交流は実効値で発熱を数え、1 周期の中の温度の揺れは見ない
• 空気の粒の動きは実際の 1/10 の速さで描く。経路の空気は、重なったプルームの温度の足し合わせを半分に抑えた近似
• 経路は縦に立てた面に描くとみなす。近くの区間との放射のやり取りも近似で入れる
• 基板は FR-4（熱伝導率 0.3 W/(m·K)）の片面に銅箔があるとみなし、厚さ方向の温度差は見ない。面の自然対流は空気の簡略式（上面 1.32、下面 0.59 の係数）、放射率は両面とも 0.9
• 融点に届いた所で切れて電流が止まる。線はいちばん熱い区間の隣で切れ、基板は溶けた升から銅箔が外れて、パッドの間が切れた所で止まる。溶けるときの潜熱は数えない
• 観察時間が自動のときは、止める条件を満たした時刻の 1.5 倍まで計算する。止める条件は、電流が止まった後なら気温に戻ったとき（線は時定数の 8 倍、基板は 30 分まで）、電流を流し続けるなら最高温度がほぼ変わらなくなったとき
• 時間軸は、短い時間ほど引き伸ばした対数に近い目盛り。溶断の一瞬と長い冷却を 1 本に収める
• 丸線の計算は、断熱で溶けるまでの時間を Onderdonk の式と、定常の溶断電流を Preece の式と比べて確かめた