FM音源

FM（周波数変調）音源は、正弦波の位相を別の正弦波でずらして倍音を作ります。変調する側をモジュレータ、変調される側をキャリアと呼びます。キャリアの周波数 $f_c$ の両側に、モジュレータの周波数 $f_m$ の間隔で側帯波が並び、その大きさは変調指数 $I$ を引数とするベッセル関数 $J_n$ で決まります。$I$ が大きいほど、遠くの側帯波まで大きくなり、音が明るくなります。周波数比が整数なら、側帯波は基本周波数の整数倍に重なり、音程のはっきりした音になります。

このツールは 4 つのオペレータ（発振器）を持ちます。オペレータ $k$ は波形 $W_k$ で、基本周波数 $f_0$（鍵盤で選ぶ平均律の音。A4 = 440 Hz）の $r_k$ 倍で発振し、アルゴリズムで決まったモジュレータの出力に変調指数を掛けて位相に足します。キャリアの出力に振幅 $A_k$（出力レベル $L_k$ を dB から直したもの）を掛けて足したものが出力です。キャリアが 2 つ以上あると、足した分だけ出力が大きくなります。音量の調整を「する」にすると、振幅の合計が 1 を超えたときに出力を合計で割り、ピークをフルスケール（1）以内に収めます。キャリアどうしの大きさの比は変わりません。OP1 は自身の直近 2 標本の平均を、帰還量 $\beta$ を掛けて自身の位相に戻せます。$\beta$ を大きくすると、のこぎり波に近づき、さらに大きくすると雑音になります。波形は正弦波のほか、三角波（tri）・のこぎり波（saw）・矩形波（sq）・半波整流（hsin、正弦波の負の半分を 0 にしたもの）・全波整流（asin、正弦波の絶対値）・四分波（qsin、全波整流の各半周期の後ろ半分を 0 にしたもの）を選べ、どれも位相 0 で 0 から始まります。正弦波でない波形はもとから倍音を含むため、変調指数が小さくても音が明るくなります。時刻 0 ですべてのオペレータの位相を 0 にして計算し、波形とスペクトラムは 1 周期を 512 点に分けて、音は出力のサンプリング周波数で計算します。スペクトラムは 32 周期ぶんにブラックマン-ハリス窓を掛けて求め、振幅 1 の正弦波を 0 dBFS とします。

出典: J. M. Chowning, “The Synthesis of Complex Audio Spectra by Means of Frequency Modulation,” Journal of the Audio Engineering Society, vol. 21, no. 7, pp. 526–534, 1973（FM による音の合成と側帯波）。8 通りのアルゴリズムと帰還量 FB 0〜7（0・π/16〜4π）は、ヤマハの OPN 系 FM 音源 IC（YM2203・YM2608・YM2612）の仕様にならう。半波整流・全波整流・四分波は、ヤマハの OPL2（YM3812）の波形選択にならう。オペレータの出力の大きさの決め方と帰還の大きさは、このツールの実装による。