極と零点

極と零点

伝達関数 $H\left(z\right)$ の分子が 0 になる $z$ を零点 $z_m$、分母が 0 になる $z$ を極 $p_n$ と呼びます。

係数が実数なら、実軸の上にない極と零点は複素共役の対で現れます。

振幅と位相

周波数特性は、$z$ を単位円の上の点 $e^{j\omega }$ に置いた $H\left(e^{j\omega }\right)$ です[1]。$\omega =2\pi f/f_s$ です。

$e^{j\omega }$ から各零点・各極へ線を引き、次のように置きます[2]。

$d$

線の長さ

$\phi$

実軸の正の向きからの線の角度

• 振幅: 零点までの長さの積を、極までの長さの積で割ったもの
• 位相: 零点の角度の和から、極の角度の和を引いたもの

極が単位円に近いと、その角度の近くの周波数で極までの線が短くなり、振幅が大きくなります。これが共振です。単位円の上の零点は、その周波数を消します。

原点の根

因果的なフィルタは $z^{-1}$ の多項式で書きます。そのため、極と零点の個数が違うときは、少ない側の根を原点に足したのと同じになります[2]。

原点の根は振幅を変えず、位相を $\omega$ ずつずらします。$z$ 平面には破線で描いています。

安定と共振の Q

すべての極が単位円の内側にあれば安定です。

極 $p$ を $s=f_s\ln p$ とアナログの極に移すと、共振の $Q$ と減衰の時定数 $\tau$ が分かります。

双2次の縦続

高い次数のフィルタは、極の対と近い零点の対を組んだ双2次の段に分け、縦続につなぐと係数の丸めに強くなります[1]。

段は、単位円に近い極から順に、いちばん近い零点と組みます[3]。

試聴

試聴では、点を動かしている間も音が途切れないようにします。点ごとの 1 次・2 次の因子の係数を、時定数 10 ms で新しい値へ近づけます。

安定な 2 次の分母 $1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}$ の係数の範囲は、次の三角形で、凸です。そのため、安定な係数の間を直線で動かしても、途中で不安定になりません。

出典

1. 有理伝達関数の周波数特性と縦続形A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed., Pearson, 2010, 5.3 節・6.3 節
2. 振幅・位相を極と零点までの線の長さと角度で求める方法、原点に足す根、群遅延J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications の Graphical Computation of Amplitude Response from Poles and Zeros・Graphical Phase Response Calculation・Phase and Group Delay
3. 双2次の段への極と零点の組み方（倣ったもの）SciPy, scipy.signal.zpk2sos（pairing='nearest'）

このツールで決めたこと

• $Q$ と時定数を、$z=e^{sT}$ でアナログの 2 次系の極に移して求める見方
• 試聴の係数の切り替え方