ドップラー効果

聞こえるのは少し前に出た音

時刻 $t$ に聞き手 $\mathbf{L}$ に届く音は、音源 $\mathbf{S}$ が放射時刻 $t_e$ に出した音です[1]。図の点線の先が $\mathbf{S}(t_e)$ です。

周波数

Doppler が 1842 年に唱え[9]、Buys Ballot が 1845 年に列車の上で吹いたラッパの音で確かめました[10]。

上の式を $t$ で微分すると、放射時刻の進む速さが出ます。音源が出した周波数 $f_0$ の音はこの比だけ高く（低く）聞こえます[1]。

$\mathbf{n}$

放射した位置から聞き手への向き（長さ 1）

$\mathbf{V},\mathbf{U}$

放射したときの音源の速度・いまの聞き手の速度

$M$

音源のマッハ数 $v/c$

• すれ違いでは $\mathbf{n}·\mathbf{V}$ が正から負へ変わり、周波数は 1/(1 − M) から 1/(1 + M) へ下がる
• 真横で出た音（$\mathbf{n}\perp \mathbf{V}$）は $f_0$ のまま。届くのは真横を過ぎてから $d/c$ 後

大きさ

動く点音源の遠方の音圧は、止まっているときの $1/r$ に $1/{1-M_r}^2$ が掛かります[1]。近づく向きで大きく、遠ざかる向きで小さくなります。

• 空気の吸収: 距離 $r$ で $\alpha (f)r$ [dB] 減る。$\alpha$ は ISO 9613-1 の式で、気温・湿度・周波数で決まる[2]。20 °C・50 % では 1 kHz で 4.7 dB/km、4 kHz で 30 dB/km
• 地面の反射: アスファルトは流れ抵抗が大きく（20000 kPa·s/m² ほど）、音をほぼそのまま返す[7][8]。地面の下の鏡像の音源からの音を足す。2 つの道のりの差で打ち消し合う周波数が、すれ違いとともに動く

音速を超えると

音源が音速より速いと、放射時刻の式の解は 0 か 2 つになります[1]。波面の包絡がマッハコーンで、聞き手はマッハコーンが来るまで何も聞かず、来た後は 2 つの音を同時に聞きます。

• マッハコーンの上では 2 つの解が重なり $1-M_r=0$。大きさの式は限りなく大きくなるので、このツールでは抑える（下の「このツールで決めたこと」）
• 先に出た音（近づいていたときの音）は $\frac{d{t}_e}{dt}<0$ で、逆回しに聞こえる
• 本物のソニックブームは、機体が空気を押しのけてできる N 字形の圧力の波で、音が強すぎて線形の式から外れる。このツールは音源（サイレンなど）の音を線形の式で伝えるだけで、ブームは作らない

マッハ角の式は NASA の解説によります[3]。

音の作り方

1. 音源の音を放射時刻ごとにためる
2. 聞き手の時刻ごとに放射時刻の解を探す
3. その時刻の音を補間して読む
4. 距離・吸収・反射を掛けて足す

読む速さが $\frac{d{t}_e}{dt}$ になるので、周波数の式を使わずに音の高さが変わります（可変の遅延線[4]）。音源が動いても聞き手が動いても、ドラッグで不規則に動かしても同じ計算です。

• 速く読むと高い倍音がナイキスト周波数を超えて折り返すので、帯域を半分ずつ狭めた写しもためておき、読む速さに合う写しを読む

音源

このツールで決めたこと

• 音速は 20 °C の 343.2 m/s を絶対温度の平方根に比例させて換算する
• $|1-M_r|$ は 0.1 より小さくしない（マッハコーンの上で無限大にしない）。近すぎる所は 1 m とみなす
• 空気の吸収は 1 次の低域通過 4 段で近似し、吸収が 10 dB になる周波数で式に合わせる。10 dB までの周波数では式との差が 2.5 dB 以内（20 m〜3 km）
• 地面は平らで硬く、反射の係数は 1
• サイレンは奇数倍音（矩形波に近い）、警笛はすべての倍音（のこぎり波に近い）。ビブラートの深さは 30 %。大きさは範囲の中ほど（サイレン 20 m で 105 dB、警笛 25 m で 105 dB）
• エンジンは 5500 rpm を超えたら上のギアにする。グラフの大きさは 0.5 m で 108 dB とする
• 高さはサイレン 2 m・警笛 3 m・エンジン 0.3 m・正弦波 1 m、聞き手の耳 1.5 m
• 図の波面はストロボで照らしたように描く。図の幅の 1/12 ごとに出た 9 本を、2 秒で 1 間隔ぶん広げる

出典

1. 放射時刻・周波数・動く点音源の音圧S. W. Rienstra, A. Hirschberg: An Introduction to Acoustics, Eindhoven University of Technology（2026-09-06 版）, 9.2 節 式 (9.18)〜(9.21). PDF
2. 空気の吸収ISO 9613-1:1993 Acoustics — Attenuation of sound during propagation outdoors — Part 1: Calculation of the absorption of sound by the atmosphere
3. マッハ角NASA Glenn Research Center: Mach Angle. Web
4. 可変の遅延線J. O. Smith, S. Serafin, J. Abel, D. Berners: Doppler Simulation and the Leslie, Proc. DAFx-02, Hamburg (2002). PDF
5. 救急車のサイレン矢ヶ崎 孝・目黒 公一郎: 救急車電子サイレン音の分析結果について, 消防科学研究所報 30 号, pp. 109–123 (1993). PDF
6. 電車の警笛Zöllner: Makrofon Signal Horn（カタログ）. PDF
7. 地面の流れ抵抗FHWA: Ground and Pavement Effects using FHWA's Traffic Noise Model 2.5, 表 3・表 4. Web
8. 地面の流れ抵抗T. F. W. Embleton, J. E. Piercy, G. A. Daigle: Effective flow resistivity of ground surfaces determined by acoustical measurements, J. Acoust. Soc. Am. 74(4), 1239–1244 (1983). DOI
9. ドップラー効果の提唱C. Doppler: Ueber das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels, Abhandlungen der k. böhm. Gesellschaft der Wissenschaften, V. Folge, Bd. 2, S. 465–482 (1842)
10. 音での確かめ（列車のラッパ）C. H. D. Buijs Ballot: Akustische Versuche auf der Niederländischen Eisenbahn, Annalen der Physik und Chemie 66(11), 321–351 (1845). DOI