月

計算と描画の流れ

1. 日時（UT）に $\mathrm{\Delta }T$ を足して力学時にする
2. 月と太陽の地心の位置、観測地の位置を求める
3. 月の自転の向き（月固定の座標の軸）を求める
4. 観測者・太陽の向きを月固定の座標へ移し、秤動と欠け際を出す
5. WebGL2 で画素ごとに月面の点を求め、色・傾き・地平線から明るさと影を出す

月と太陽の位置

月の位置は Meeus『Astronomical Algorithms』47 章の式で求めます[1]。ELP-2000/82 を切り詰めた級数で、黄経・距離に約 60 項、黄緯に約 60 項を足し合わせます。1950〜2100 年で ELP/MPP02 と比べた誤差は、向きで RMS 2.9″、位置で RMS 6.1 km です[2]。月の見かけの直径（約 0.5°）の 1 % に満たず、画面の 1 画素より小さくなります。

太陽は VSOP87D の地球の級数のうち振幅 ${10}^{-7}$ 以上の 213 項から求めます[3]。Meeus 25 章の簡単な式では黄経が最大 34″ ずれ、月食の時刻が 1 分ほど狂ったためです。章動と黄道傾斜は 22 章、歳差は 21 章、恒星時は 12 章によります[1]。位置はすべて地心の「その日の真の赤道と春分点」の座標で持ちます。時刻の $\mathrm{\Delta }T$ は日食のページと同じ Espenak と Meeus の多項式です[4]。

観測地から見た月は、地心の月の位置から観測地の位置（WGS84 の楕円体の上の点）を引いて求めます。月は近いので、観測地によって向きが最大約 1° 変わります（地平視差）。高度には大気差（Saemundsson の式）を足し、月の出入りは月の上の縁が見かけの地平線に来る時刻とします[1]。

月の向きと秤動

月の自転の向きは国際天文学連合の作業部会（WGCCRE）の式で求めます[5]。北極の赤経・赤緯 ${\alpha }_0$・${\delta }_0$ と本初子午線の角 $W$ を、13 個の角 $E_1$〜$E_{13}$ の三角関数の和で表したものです。月探査機 LRO の地図が使う「平均地球・極軸」の座標を、この式で近似します。

秤動は月から観測者への向き $\widehat{𝐨}$ を月固定の座標で表した経緯度（地球直下点）です。光学的秤動・物理的秤動・観測地による日周秤動が、この 1 つの変換でまとめて入ります。同じように、月から太陽への向き $\widehat{𝐬}$ から太陽直下点と余経度を求めます。

NASA SVS の 2026 年の毎時の値では、地心の秤動の範囲は経度 −7.9°〜+7.6°、緯度 −6.8°〜+6.9° です[6]。輝面比は位相角 $\alpha$（月から見た太陽と観測者の間の角）から $k=(1+\cos \$\{AF\}\$\{sp\}\alpha )/2$ で求めます[1]。

画面の向きは、天頂・天の北極・月の北極のどれかを上にして決めます。天頂が上のときは、空で見えるとおりの傾きになり、三日月が春の夕方には寝て、秋の夕方には立つ様子が分かります[7]。

月面の色と地形

月面の色と標高は、NASA の Scientific Visualization Studio が公開している CGI Moon Kit を使います[8]。

• 色: LRO の広角カメラ（WAC）の 10 万枚を超える画像を、地形の傾きも入れて同じ光の当たり方（入射角・位相角 60°、出射角 0°）に直してから重ねたもの（Hapke の正規化）。643・566・415 nm を赤・緑・青にしている。地形の陰影がほぼ除かれているので、影を計算で足せる
• 標高: LRO のレーザー高度計（LOLA）の格子。半径 1737.4 km の球からの高さ

このページでは、どちらも表側（経度 −100°〜+100°）を 1 度あたり 8 画素（1 画素が赤道で約 3.8 km）に縮めて使います。標高は 10 m 刻みです。

読み込んだあと、GPU で一度だけ、各点の東向き・北向きの傾きと、8 方位（東から 45° おき）の地平線の高度角を求めます。地平線は、大円に沿って 2 km から歩幅を 1.145 倍ずつ広げ、約 400 km まで 40 歩たどり、月の丸みを入れた見込み角の最大とします。月では太陽直下点の緯度が ±1.6° ほどしか動かないため、赤道に近い欠け際での太陽はほぼ真東か真西にあります。極の近くでは太陽が赤道の側（北極の近くなら南）に寄り、いつも低いので、東西だけの地平線では影が東西に伸びた筋になります。そこで 8 方位で持ち、太陽の方位をはさむ 2 方位から補間します（このツールで決めたこと）。

地名

地名の位置・大きさ・英語名は、国際天文学連合が承認し、米国地質調査所（USGS）が公開している惑星地名辞典によります[9]。海、表側の直径 20 km 以上のクレーター、日本語名のある山・谷などを選んでいます。日本語名は日本語版ウィキペディアの一覧から取り、日本語名のないものは英語名で出します[10]。

明るさと影

月面の明るさは月の円盤の明るさの分布を表す Akimov の関数で計算します[11]。$\alpha$ は位相角、$\beta$・$\gamma$ は測光の緯度・経度（観測者と太陽を通る大円を赤道とし、観測者の向きから太陽の側へ測る）です。地形の凹凸は、面の向きから $\beta$・$\gamma$ を求めて入れます。縁の近くで観測者に背を向けた斜面は、実際には手前の地形に隠れて見えないので、観測者の側へ起こしてから計算します（このツールで決めたこと）。

$A$ は色の地図の値です。満月（$\alpha =0$）では円盤が一様に明るく、細い月では明るい縁が強まり、極の側へ細くなります。明るさの合わせ方は 3 通りです。

• 肉眼・カメラ: 円盤で最も明るい点（明るい縁）が満月と同じ明るさになるように合わせる。目やカメラが明るさに慣れる様子に近い
• 物理: 満月の明るさに固定し、円盤の平均の明るさが、月全体の明るさの位相角による変化（Allen の式、等級で $0.026\alpha +4\times {10}^{-9}{\alpha }^4$ 暗くなる）に合うようにする[21]

落ちる影はその点の太陽の高度 $h_{\text{太陽}}$ と、太陽のある側の地平線の高度角 $h_{\text{地平線}}$ を比べて決めます。太陽の見かけの直径 0.53° の幅でぼかします。

地球照は、月から見た地球の輝面比に比例させ、地球が満ちているとき直射の 1/8000 とします。この値は推定です。地球の平均の反射率による式で月から見た満地球を約 −16.9 等とし、太陽と比べました。地球が厚い雲や雪で覆われたとした明るい側の見積もり（−17.7 等）では、約 1/4000 になります[12]。「肉眼」と「カメラ」では、見えるように 30 倍に持ち上げます。

月食

地球の影の半径は、NASA の月食のカタログと同じく Danjon の方法で、月の地平視差 ${\pi }_{\text{月}}$、太陽の視半径 $s_{\text{太陽}}$、太陽の地平視差 ${\pi }_{\text{太陽}}$ から求めます[13]。係数 1.01 は、地球の大気による影の拡大（1/85）と、地球の扁平の補正（1/594）を合わせたものです。

月食の一覧は NASA の五千年カタログ[14]の 1900〜2100 年の分です。欠け始め・皆既・欠け終わりの時刻は、影と月の中心の角距離が半径の和・差になる時刻を二分法で解いて求めます。時刻はどこで見ても同じで、観測地で決まるのは月の高さです。

影の中の色と暗さは、Mallama (2022) の表で付けます[15]。半影の外縁から影の中心まで、青・緑・赤の光が何等暗くなるかを約 50 段で示した表で、中心では青が 22.2 等、緑が 15.4 等、赤が 11.0 等暗くなります。大気で曲げられて影の中へ入る光のうち、青い光ほど大気に吸収されて弱まるため、皆既の月は赤銅色になります。この表のもとの模型はオゾンの吸収を入れていないので、本影の縁に見えることのある青緑は出ません。

暦

• 新月・上弦・満月・下弦: 太陽と月の地心の視黄経の差が 0°・90°・180°・270° になる時刻[16]
• 月齢: 直前の新月からの経過日数。カレンダーの数字はその日の正午の月齢[16]
• 中秋の名月・十三夜: 秋分を含む朔望月を旧暦 8 月とし、その 15 日を中秋の名月、次の月の 13 日を十三夜とする。中秋の名月は満月とは限らない[17]
• スーパームーン: このページでは、その年で地球に最も近い満月とする

答え合わせ

• 地心の距離・視直径・輝面比・地球直下点・太陽直下点・自転軸の位置角を、NASA SVS の 2026 年の毎時の値[6]と比べる
• 東京から見た高度・方位・距離・地球直下点を、JPL Horizons の値と比べる[18]
• 月の出入りと月相の時刻を、米国海軍天文台（USNO）の値と比べる[19]
• 2026-03-03 と 2028-12-31 の月食の時刻と食分を、国立天文台と NASA の値と比べる[14][20]

このツールで決めたこと

• 使う地形の範囲（表側の経度 −100°〜+100°）と解像度（1 度あたり 8 画素）、標高の刻み（10 m）
• 地平線を 8 方位で持って太陽の方位で補間し、2 km から約 400 km まで 40 歩たどること
• 観測者に背を向けた斜面を、観測者の側へ起こして明るさを計算すること
• 影のぼかしの幅（太陽の視直径 0.53°）
• 色の彩度を 0.55 倍に落とすこと、明るさの倍率と、白の手前で丸める曲線
• 「肉眼」「カメラ」で、円盤で最も明るい点を満月と同じ明るさに合わせること
• 地球照の強さ（満地球で直射の 1/8000）と、「肉眼」「カメラ」での 30 倍の持ち上げ
• 月食の明るさの合わせ方: 円盤で最も明るい点の減光を、「肉眼」は 3/4、「カメラ」は全部取り戻し、「物理」は取り戻さない
• 表の影の位置への当て方: 本影の縁を表の 0.429 の行に合わせ、その内と外を比例で伸び縮みさせる
• 地名の選び方: 中心が夜の側（太陽が地平線の下）にあるものは出さない。「欠け際の近く」では、名前が Mare・Oceanus の海はいつも出す。クレーターは直径 25 km 以上、緯度 ±70° 以内で、太陽直下点との経度の差が 70°〜90°（欠け際から明るい側へ 20° まで）のものを、大きい順に 12 個。「大きなもの」では、クレーターを直径 90 km 以上にする
• スーパームーンを「その年で最も近い満月」とすること

出典

1. 月の位置（47 章）、輝面比と明るい縁の位置角（48 章）、歳差（21 章）、章動と黄道傾斜（22 章）、恒星時（12 章）、観測地の地心の座標（11 章）、視差（40 章）、大気差（16 章）、出入り（15 章）J. Meeus, Astronomical Algorithms, 2nd ed., Willmann-Bell, 1998
2. Meeus 47 章の式（ERFA の eraMoon98）と ELP/MPP02 の差（Notes の 3）pyerfa, “erfa.moon98”
3. 太陽（地球）の位置の級数 VSOP87DP. Bretagnon and G. Francou, “Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP 87 solutions,” Astron. Astrophys., vol. 202, pp. 309–315, 1988; IMCCE, VSOP87D.ear
4. $\mathrm{\Delta }T$ の多項式F. Espenak, “Polynomial Expressions for Delta T (ΔT),” NASA GSFC
5. 月の北極と本初子午線の式と係数（2015 年の報告は月の式を載せておらず、pck00011 も 2009 年の報告の値を使う）B. A. Archinal et al., “Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements: 2009,” Celest. Mech. Dyn. Astr., vol. 109, pp. 101–135, 2011; NAIF, pck00011.tpc
6. 2026 年の毎時の秤動・距離・視直径・輝面比（答え合わせ）E. Wright, “Moon Phase and Libration, 2026,” NASA Scientific Visualization Studio, 5587
7. 明縁方向と、三日月の傾きが季節で変わること国立天文台 暦計算室, “月の満ち欠け/明縁方向,” 暦Wiki
8. 月面の色の地図と標高（LRO WAC・LOLA。パブリックドメイン）、WAC の画像の Hapke の正規化E. Wright, “CGI Moon Kit,” NASA Scientific Visualization Studio, 4720; H. Sato, M. S. Robinson, B. Hapke, B. W. Denevi and A. K. Boyd, “Resolved Hapke parameter maps of the Moon,” J. Geophys. Res. Planets, vol. 119, pp. 1775–1805, 2014; LROC, “WAC Hapke Normalized Mosaic”
9. 地名の位置・直径・英語名（パブリックドメイン）IAU Working Group for Planetary System Nomenclature and USGS Astrogeology Science Center, “Gazetteer of Planetary Nomenclature”（MOON_nomenclature_center_pts、2026-10-22 版）
10. 地名の日本語名（CC BY-SA 4.0。features.json はこのライセンスを引き継ぐ）ウィキペディア日本語版「月の海の一覧」「月のクレーターの一覧」「月の地形一覧」（版を固定）
11. 月の円盤の明るさの分布（Akimov の関数）Yu. Shkuratov et al., “Optical measurements of the Moon as a tool to study its surface,” Planet. Space Sci., vol. 59, pp. 1326–1371, 2011（もとは L. A. Akimov, 1988）
12. 月から見た満地球の明るさ（厚い雲や雪の場合の見積もりと、平均の反射率による地球の等級の式）D. C. Agrawal, “Apparent magnitude of earthshine: a simple calculation,” Eur. J. Phys., vol. 37, 035601, 2016; A. Mallama and J. L. Hilton, “Computing apparent planetary magnitudes for The Astronomical Almanac,” Astron. Comput., vol. 25, pp. 10–24, 2018
13. 影の拡大の Danjon の方法と Chauvenet の方法、係数 1.01 の内訳F. Espenak, “Enlargement of Earth's Shadows,” NASA GSFC
14. 月食の一覧（1900〜2100 年）、食分と継続時間F. Espenak and J. Meeus, Five Millennium Catalog of Lunar Eclipses: −1999 to +3000, NASA/TP-2009-214173, 2009; 5MKLEcatalog.txt。謝辞は “Eclipse Predictions by Fred Espenak (NASA's GSFC)”
15. 本影と半影の中の青・緑・赤の減光（表 B.1。CC BY 4.0）A. Mallama, “Lunar Eclipse Phenomena: Modeled and Explained,” arXiv:2112.08966v4, 2022
16. 朔・上弦・望・下弦と月齢・正午月齢の定め方国立天文台 暦計算室, “こよみ用語解説 月のあれこれ”
17. 中秋の名月の日付の決め方と、満月とは限らないこと国立天文台 暦計算室, “中秋の名月とは”, “中秋の名月とは/名月必ずしも満月ならず,” 暦Wiki
18. 観測地から見た月の高度・方位・距離・地球直下点（答え合わせ）JPL Solar System Dynamics, “Horizons System”
19. 月の出入りと月相の時刻（答え合わせ）U.S. Naval Observatory, “Astronomical Applications API”
20. 2026-03-03 の皆既月食の時刻国立天文台, “皆既月食（2026年3月）”
21. 月全体の明るさの位相角による変化A. N. Cox (ed.), Allen's Astrophysical Quantities, 4th ed., Springer, 2000