雷鳴

光と音

光は一瞬で届き、音は 1 秒に約 343 m 進みます。光ってから音までの秒数を 3 で割ると、いちばん近い所までの距離 [km] になります。

• 20 °C で 1 km は 2.91 秒。0 °C では 3.02 秒
• 最初に届くのは放電路のうち聞き手にいちばん近い所の音。落雷点が近くても、放電路が聞き手の方へ曲がっていれば早く届く

放電路の衝撃波

放電路は一瞬で数万 K に熱せられ、細い円柱が膨らんで衝撃波を出します。円柱の衝撃波は、押しのけた空気の仕事が熱のエネルギーと同じになる半径（緩和半径）のあたりで弱い衝撃波になり、そこから先は音として伝わります[3]。

$E$

放電路の単位長さあたりのエネルギー [J/m]。見積もりは 10³〜10⁶ J/m と 3 桁ばらつく[2][3][9]

$p_0$

気圧

$f_{\mathrm{m}}$

雷鳴のスペクトルのピーク[1][2]。測った落雷の平均は約 50 Hz、雲の中の放電は約 28 Hz[7]

N 波

弱い衝撃波の形は、急に上がってまっすぐ下がり、急に戻る N の字です。緩和半径のあたりで正の側の長さは約 0.53 $R_0$、最初の 1 km で約 2 倍に伸び、その先はほとんど伸びません[3]。長さ $T$ の N 波のスペクトルは $\pi fT\approx \mathrm{\{N\_PEAK\_X.toFixed(2)\}}$ で最大になり、1 km 先の N 波のピークは $f_{\mathrm{m}}$ の 15 % 以内に入ります。

• N 波は進むうちに、山の先が速く谷が遅く進むので長くなり、山は低くなる。正の側の面積は変えない
• 1 km までの伸び方は、弱い衝撃波の $\sqrt{1+\kappa \ln r}$ の形でつないだ（仮）

音の大きさ

放電路のエネルギーのうち音になるのは 0.42〜0.47 %[2]（測定からは 0.18 %[7]）です。このページでは 0.45 % とし、まっすぐな長い放電路の音のエネルギーが単位長さあたり $\eta E$ になるように、要素の N 波の高さを決めます。

• $G$ は、まっすぐな線の要素の N 波を足した円筒波の形の 2 乗の積分（このツールで導いた）
• $E$ を Few の 10⁶ J/m にすると、数 km 先で 120 dB を超える。測った大きさとは照合していない

曲がりくねった放電路

放電路は数 m ごとに向きを変える折れ線です。写真から求めた向きの変化の平均は約 16°[4]、区間の平均は約 8 m[9]です。このページでは区間の長さを 4〜12 m の一様分布、向きの変化を平均 16° の半正規分布の乱数で作ります。

• まっすぐな区間の N 波は、区間に垂直な向きへ強く出る。区間の各点からの音が同時に届くので重なって鋭くなる[6]
• 区間の向きに近い向きでは、端から端までの距離の差だけ届く時刻がずれ、N 波の山と谷が打ち消し合って弱く低くなる
• 音のエネルギーの 8 割は、区間に垂直な面の ±30° に出る。大きく曲がった区間に垂直な向きの聞き手には「バリッ」、外れた聞き手には「ゴロゴロ」と聞こえる[3][5]

1. 放電路を、その距離の N 波の波長の 1/8 より短い要素に分ける
2. 要素ごとに聞き手までの距離 $r$ と届く時刻 $r/c$ を求める
3. 要素の長さに比例し $r$ に反比例する高さの N 波を、その時刻に足す（線形の重ね合わせ）
4. 区間ごとに、距離の分の空気の吸収を掛けて足す

放電路の形

先駆放電は雲の中の放電路の複数の所から樹状に垂れ下がり、最初に地面へ届いた経路だけに大きな電流が流れます。この競争をそのまま計算します。速さは平均で約 2.7×10⁵ m/s[15] で、2 km 下りても 10 ms ほどです。音が進むのは数 m なので、伸びる順序は雷鳴に影響しません。

• 枝: 速さ・枝分かれ・止まる所を乱数で決める。接地すると電位の変化が上へ伝わり、ほかの枝は伸びが止まる[16]
• 止まった枝のエネルギー: 枝にためた電荷は接地のあと本流へ抜ける[17]。その先の枝まで含めて長い枝ほど大きくし、合計は本流 900 m 分にそろえる（仮）
• 落雷 2 か所以上: 接地の瞬間に地面のすぐ近くまで来ていた枝も届く[16]。測定の割合は 1.3〜15.3 %[16] で、ここでは約 1 割になる
• 雲の底から横へ進む向き: 0 方向 15 %・1 方向 45 %・2 方向 30 %・3 方向 10 %（仮）。右と左へ交互に、x 軸から ±10° まで。軸から横へ離れると戻るように進め、断面で頭上に見える所は実際にも頭上に置く

雷鳴の長さ

雷鳴が続く時間は、放電路のうち聞き手にいちばん近い所と遠い所の距離の差を音速で割った時間です。

• 真上へ高さ $H$ まで伸びる放電路を、水平距離 $d$ で聞くと $(\sqrt{d^2+H^2}-d)/c$。近いほど長い
• 雲の中を横に何 km も進む放電路は、遠くでも長く続く

多重雷

落雷の多くでは同じ放電路に数十 ms おきに何回も電流が流れます。光が瞬いて見え、雷鳴もそのたびに出て重なります[11][12]。

• 回数は多くが 3〜5 回。間隔の幾何平均は 61 ms で、ここでは対数正規分布の乱数で決める[11][12]
• 2 回目からは枝を通らない。雲の中では、前の回より遠い所の電荷をほぼ同じ高さで引く（最大 8 km）[13]。ここでは前の回の雲の中の放電路から分かれ、外へ 3 km 伸ばす（仮）。雲の中へ進まない雷は、同じ放電路を何回も通る
• 2 回目からのエネルギーは最初の 0.3 倍（仮）。N 波が短く、少し高い音になる

遠いほど低く

空気の吸収は高い音ほど大きく、遠い雷は高い音が消えて低いゴロゴロだけが残ります[10]。式と近似のしかたは ドップラー効果 と同じです。

地面と山の反射

• 地面での反射は、地面に映した放電路（鏡像）から届く音とみなす。耳の高さが低いので、直接の音とほぼ同時に届いて重なる。雷鳴の測定でも硬い地面として音圧を 2 倍に扱う[2][9]
• 山は鉛直の崖とし、面は聞き手の側を向く。反射音は崖に映した放電路から届く。放電路のうち聞き手の側にあり、崖を横切る点が崖の高さより下の部分だけが返る。直接の音より、往復の距離の分だけ遅れる（やまびこ。部屋の中の反射は 残響）
• 崖の向こうの放電路で、聞き手への線が崖より低い所を通る部分の音は、崖の上端を回り込む分だけ弱まる。道の長さの差 δ からフレネル数 $N=2\delta /\lambda$ を出し、$10{\log }_{10}(3+20N)$ dB（上限 24 dB）[14]。波長はその要素の N 波のスペクトルの山で代表させる（仮）
• 周囲の反響: 聞き手の近くの家・木・建物で散った音を、部屋の残響と同じフィードバック遅延網で足す。残響時間（500 Hz）は木々 1.2 s・家と木 1.8 s・建物 2.6 s で仮の値。左右の耳で響きを変える
• 地形の反響: 数 km 先の丘・山・林で散った音は、何秒もかけて戻る。戻るまでに地面と草木で高い音が吸われ、低い音だけが残る。60・150・400 Hz までの 3 つの帯で、残響時間を低い方から 1 : 0.6 : 0.3、響きのエネルギーを同じ比にした（どれも仮）。標本化周波数を 1/16 に落として、雑音で作った応答とたたみ込む

聞こえない遠い雷

気温は上空ほど下がり、音速も下がるので、地面近くを進む音は上へ曲がります。高さ $z$ から出た音が地面に届くのは、曲がりの半径 $R$ で決まる距離までです。それより遠くは影の領域で、ほとんど聞こえません[8][3]。Fleagle の例（地上 30 °C・9.8 K/km・高さ 5 km）では 25 km です。

• $\Gamma$ は高さ 1 km あたりの気温の下がり方。曲がりの半径は約 {(R / 1000).toFixed(0)} km
• 影の領域でも、回折や風・乱流で少しは届く。このページでは届く距離を超えた所から 1 割の幅で一定の量だけ下げる（仮）

出典

1. スペクトルのピーク f_m（本文は未確認。[2] の式 4.7 と Lacroix の学位論文の引用で照合）A. A. Few, “Power spectrum of thunder,” Journal of Geophysical Research, vol. 74, no. 28, pp. 6926–6934, 1969, doi:10.1029/JC074i028p06926
2. E ≈ 5×10⁹/f_m²（式 4.7）、E = 10⁶ J/m の計算、音になる割合 0.42〜0.47 %（式 4.4〜4.6）、地面の反射（式 3.2）A. A. Few, Jr., Thunder, Ph.D. thesis, Rice University, 1969
3. 緩和半径（式 4.1、表 4.1）、N 波の長さと伸び（表 4.2）、clap と rumble、影の領域（式 4.8）A. A. Few, “Acoustic radiations from lightning,” in The Earth’s Electrical Environment, National Research Council, ch. 4, pp. 46–60, 1986, doi:10.17226/898
4. 向きの変化の平均 16°（本文は未確認。[9] と Lacroix の学位論文の引用）R. D. Hill, “Analysis of irregular paths of lightning channels,” Journal of Geophysical Research, vol. 73, no. 6, pp. 1897–1906, 1968, doi:10.1029/JB073i006p01897
5. 曲がりくねった放電路の N 波の重ね合わせ（本文は未確認）H. S. Ribner and D. Roy, “Acoustics of thunder: A quasilinear model for tortuous lightning,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 72, no. 6, pp. 1911–1925, 1982, doi:10.1121/1.388621
6. 有限の線音源の N 波の指向性（本文は未確認。Glassner の解説で確かめた）W. M. Wright and N. W. Medendorp, “Acoustic radiation from a finite line source with N-wave excitation,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 43, no. 5, pp. 966–971, 1968, doi:10.1121/1.1910966; A. Glassner, “The digital ceraunoscope,” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 20, no. 2–3, 2000
7. 測ったスペクトルのピーク（落雷 50 Hz・雲の中 28 Hz）と音になる割合 0.18 %（本文は未確認。[9] の著者の 2018 年の論文の引用）R. Holmes, M. Brook, P. Krehbiel, and R. McCrory, “On the power spectrum and mechanism of thunder,” Journal of Geophysical Research, vol. 76, no. 9, pp. 2106–2115, 1971, doi:10.1029/JC076i009p02106
8. 気温の勾配による影の領域（本文は未確認。[3] の式 4.8 と図 4.10）R. G. Fleagle, “The audibility of thunder,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 21, no. 4, pp. 411–412, 1949, doi:10.1121/1.1906528
9. 区間 8 m、E = 4〜60 J/cm、硬い地面でスペクトルを 4 倍A. Lacroix, F. Coulouvrat, R. Marchiano, T. Farges, and J.-F. Ripoll, “Acoustical energy of return strokes: A comparison between a statistical model and measurements,” Geophysical Research Letters, vol. 46, no. 20, 2019, doi:10.1029/2019GL085369
10. 空気の吸収ISO 9613-1:1993, Acoustics — Attenuation of sound during propagation outdoors — Part 1: Calculation of the absorption of sound by the atmosphere
11. 放電の間隔の幾何平均 61 ms（本文は未確認）M. M. F. Saba, M. G. Ballarotti, and O. Pinto Jr., “Negative cloud-to-ground lightning properties from high-speed video observations,” Journal of Geophysical Research, vol. 111, D03101, 2006, doi:10.1029/2005JD006415
12. 1 回の落雷の放電の回数は多くが 3〜5 回（本文は未確認）CIGRE Working Group C4.407 (V. A. Rakov, convenor), Lightning Parameters for Engineering Applications, Technical Brochure 549, 2013
13. 2 回目からの放電は雲の中の遠い所の電荷を引く（本文は未確認。要旨で確かめた）P. R. Krehbiel, M. Brook, and R. A. McCrory, “An analysis of the charge structure of lightning discharges to ground,” Journal of Geophysical Research, vol. 84, no. C5, pp. 2432–2456, 1979, doi:10.1029/JC084iC05p02432
14. 塀の回折による減衰 10 log₁₀(3 + 20N)（本文は未確認。書誌は Crossref で確かめた）Z. Maekawa, “Noise reduction by screens,” Applied Acoustics, vol. 1, no. 3, pp. 157–173, 1968, doi:10.1016/0003-682X(68)90020-0
15. 負極性の先駆放電の 2 次元の速さの幾何平均 2.68×10⁵ m/s（62 例）L. Z. S. Campos, M. M. F. Saba, T. A. Warner, E. P. Krider, K. L. Cummins, and R. E. Orville, “Does the average downward speed of a lightning leader change as it approaches the ground? – An observational approach,” 21st International Lightning Detection Conference, Orlando
16. 接地の電位の変化でほかの枝が止まる説明、地面に近い枝も届く説明（Guo・Krider 1982 ほかの引用）、落雷 2 か所以上の割合 1.3〜15.3 %（表 1）L. Z. S. Campos, A. C. V. Saraiva, K. L. Cummins, L. Antunes, O. Pinto Jr., and D. G. Guedes, “Phenomenology and characterization of multiple ground contact strokes in natural lightning,” XV International Conference on Atmospheric Electricity, Norman, 2014
17. 枝の光は先駆放電がためた電荷が急に抜けるため（本文は未確認。第 4 章の解説で確かめた）V. A. Rakov and M. A. Uman, Lightning: Physics and Effects, Cambridge University Press, 2003