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標本化定理

波形

原音標本復元した波

スペクトル

原音の成分標本化で並ぶ複製標本化周波数復元される成分折り返した成分

入力
f 周波数

Hz

fs 標本化周波数

Hz

入力のローパス

停止中
音量 音量

dB

  1. 1標本化

    音の波を決まった間隔で測り、数の列にします。

    1 秒に測る回数を標本化周波数 fs と呼びます。

  2. 2復元

    標本ごとに sinc という山を置いて足し合わせると、点と点の間がなめらかにつながった波になります。

    この山はほかの標本の位置でちょうど 0 になるので、標本の値は変わりません。

  3. 3同じ点を通る別の波

    ところが、標本の点を通る波は 1 つではありません。

    周波数 f の波と fs − f の波は、どの標本の位置でも同じ値になります。

  4. 4複製が並ぶ

    そのため、標本化した列のスペクトルには f のほかに fs − f、fs + f、2fs − f … の複製が並びます。

    標本だけからは、どれが元の成分かを区別できません。

  5. 5いちばん低い成分を復元

    そこで復元では、0 にいちばん近い成分を元の波とみなします。

    f がいちばん低ければ、元どおりの波になります。

  6. 62 倍の理由

    fs を下げると複製 fs − f が f に近づき、fs = 2f でちょうど重なります。

    つまり、元の波を復元できるのは fs が f の 2 倍より大きいときだけです。

  7. 7折り返し

    fs が 2f より小さいと、複製 fs − f のほうが低くなります。

    すると、元と違う周波数の波が復元されます。これをエイリアシング（折り返し）と呼びます。

  8. 8入力のローパス

    矩形波のように高い成分を限りなく含む音では、どれかの成分が必ず折り返します。

    したがって、標本化の前にローパスで fs の半分より高い成分を除いておきます。

動作原理と式

全体の流れ

  1. 入力のローパス
  2. 標本化
  3. 復元
  • 標本化は、決まった間隔で波の値を測ること
  • 復元は、標本から元の波を作り直すこと
  • 標本化周波数が入力の周波数の 2 倍より高ければ、標本から元の波を作り直せる（標本化定理）[1][3][4]

標本化と複製

s[n]=x(nfs)f,fs±f,2fs±f,…
fs
標本化周波数
f
入力の成分の周波数
  • 周波数 f の正弦波と kfs ± f の正弦波は、標本の位置で同じ値になる
  • そのため標本化したあとのスペクトルには、fs の倍数の両側に同じ成分の複製が並ぶ[5]

2 倍の条件

f<fs−f⇔fs>2f
  • 復元では、複製のうち 0 にいちばん近い成分を元の波とみなす
  • fs を下げると、いちばん近い複製 fs − f が下りてきて、fs = 2f で f と重なる
  • さらに下げると fs − f のほうが低くなり、別の周波数の波として復元される
  • fs = 2f ちょうどでは、標本が正弦波の 0 の所に来ると値がすべて 0 になる
  • 周波数の側から言うと、復元できるのは fs の半分より低い成分。この値をナイキスト周波数と呼ぶ[2]

復元

x^(t)=∑ns[n]sinc(fst−n)sinc(u)=sin⁡πuπu
  • 標本ごとに sinc の山を置いて足すと、条件を満たす波は元どおりになる[1][4]
  • sinc の山は、ほかの標本の位置でちょうど 0 になる

折り返し

fa=|f−kfs|
fa
復元される周波数（k は f / fs に最も近い整数）
  • 2 倍の条件を満たさない成分は、元と違う低い周波数で聞こえる（エイリアシング）
  • 矩形波は倍音が限りなく続くので、ローパスなしではどの fs でも一部が折り返す
  • 入力のローパス（アンチエイリアスフィルタ）で、標本化の前に fs の半分より高い成分を除く[6]

このツールで決めたこと

  • 振幅 0.7 の正弦波をスペクトルの 0 dB とし、縦は −42 dB まで
  • 矩形波はローパスなしでは理想の矩形。図には 96 kHz までの倍音を描く
  • 和音は根音・5/4・3/2 の 3 音で、それぞれ 8 倍音まで
  • スイープは 50 Hz から 16 kHz まで 8 秒で直線に上がり、くり返す
  • 復元はブラックマン窓をかけた sinc で、両側 16 標本[7]
  • 入力のローパスは理想のローパス。スイープは遮断の手前 300 Hz で弱める
  • 標本化周波数を変えると、次の標本から間隔が変わる。決めた標本は動かさず、fs は 40 ms の時定数で目標へ寄せるので、音は途切れない
  • 「自動」: 標本化周波数を 16 kHz で 0.6 秒、8 秒かけて 700 Hz まで下げ、1.4 秒保つ、をくり返す
  • 波形は入力の位相 0 から描く。幅は正弦波で 6 周期、ほかで 4 周期（スイープは 4 ms）で、標本が 8 個未満なら 2 倍ずつ広げる
  • スペクトルの横軸は入力の 10 倍まで（スイープは 20 kHz）
  • 原音の試聴は 20 kHz より上の成分を除いた音

出典

  1. sinc の和による補間E. T. Whittaker, “On the functions which are represented by the expansions of the interpolation-theory,” Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, vol. 35, pp. 181–194, 1915, doi:10.1017/S0370164600017806
  2. ナイキスト周波数H. Nyquist, “Certain topics in telegraph transmission theory,” Transactions of the AIEE, vol. 47, no. 2, pp. 617–644, 1928, doi:10.1109/T-AIEE.1928.5055024
  3. 標本化定理（1933 年の論文の英訳）V. A. Kotel’nikov, “On the transmission capacity of ‘ether’ and wire in electric communications,” Physics-Uspekhi, vol. 49, no. 7, p. 736, 2006, doi:10.1070/PU2006v049n07ABEH006160
  4. 標本化定理C. E. Shannon, “Communication in the presence of noise,” Proceedings of the IRE, vol. 37, no. 1, pp. 10–21, 1949, doi:10.1109/JRPROC.1949.232969
  5. 標本化したスペクトルの複製A. J. Jerri, “The Shannon sampling theorem—Its various extensions and applications: A tutorial review,” Proceedings of the IEEE, vol. 65, no. 11, pp. 1565–1596, 1977, doi:10.1109/PROC.1977.10771
  6. 標本化の前のローパスM. Unser, “Sampling—50 years after Shannon,” Proceedings of the IEEE, vol. 88, no. 4, pp. 569–587, 2000, doi:10.1109/5.843002
  7. ブラックマン窓F. J. Harris, “On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform,” Proceedings of the IEEE, vol. 66, no. 1, pp. 51–83, 1978, doi:10.1109/PROC.1978.10837

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