分岐図

写像

• クモの巣図: 曲線 $y=f(x)$ へ縦、対角線 $y=x$ へ横[9]
• 分岐図: 過渡を捨てたあとの $x_n$ を $r$ ごとに縦に打つ[1]

安定と周期倍分岐

• 乗数 $-1$: 周期倍分岐（$p\to 2p$）
• 乗数 $+1$: 接線分岐（窓の始まり）
• 乗数 0: 超安定（軌道が極大 $c$ を通る。ロジスティックは $c=1/2$）

• δ・α は極大が 2 次の写像に共通（普遍性）[2][3]。正弦写像で ${\delta }_9$ = 4.66920・${\alpha }_9$ = 2.50291
• 値は Briggs[4]・OEIS[5]
• 極大の次数で値が変わる。4 次は $\delta$ = 7.28469…・$\alpha$ = 1.69030…[4]。このツールの ${\delta }_9$ = 7.28473・${\alpha }_9$ = 1.69031
• 電子回路の実験でも同じ比[10]

窓

• 周期 3 の窓は $r=1+2\sqrt{2}$ = 3.828427125 の接線分岐で始まる[8]
• 手前は間欠性（周期 3 に近い動きとカオスの交代）[9]
• 周期 3 があればすべての周期がある[7]
• 窓の並びはロジスティックと正弦で同じ[6]

ほかの写像

• ロジスティックの $r<0$: $r$ と $2-r$ は同じ動き（共役）。$r=-1$ で周期 1 → 2、$r=-2$ は $r=4$ と同じ。$x$ は $r/4$〜$f(r/4)$
• 3 次: $r=1$ で 0 が不安定になり、正と負の 2 つに分かれる（$x_0$ の符号で決まる）。$r=3\sqrt{3}/2$ で 2 つのカオスが 1 つに。$r=3$ は $x=2\cos \theta$ で $\theta \to 3\theta$（$\lambda =\ln 3$）
• ガウス: 左から周期倍分岐でカオスへ進み、右で逆にたどって戻る[12]。$\beta$ が −1 に近い所では $x_0$ で落ち着く先が 2 つ
• エノン: 2 次元の写像[14]。$x_{n+1}$ は $x_n$ だけで決まらないので、クモの巣図の代わりに点 $(x_n,x_{n+1})$ を打つ。$\lambda$ は最大リアプノフ指数（$a$ = 1.4 で 0.419）。$b=0$ なら 1 次元の 2 次写像
• カオスニューロン: 減衰する膜電位 $x$ から、出力 $(1+\tanh )/2$（シグモイド）の分の不応性を引く[15]。$a$ を動かすと周期とカオスが交互に並び、$a=1/2$ を中心に左右対称
• リッカー: 魚の親と子の数の模型[13]。極大の位置 $x=1/r$ が $r$ で動く。カオスでは 0 の近くまで減る年がある

リアプノフ指数

• $\lambda <0$: 周期に落ち着く。超安定で $-\infty$
• $\lambda =0$: 分岐の点
• $\lambda >0$: カオス（近い 2 点が $e^{\lambda n}$ で離れる）
• ロジスティックの $r=4$ で $\ln 2$、テントで $\ln \mu$[9]

音

• 波形: $x_n$ を毎秒 $f_s$ 回の標本にする。周期 $p$ は $f_s/p$ Hz、周期倍分岐で 1 オクターブ下がる
• 旋律: $x_n$ を音の高さにする[11]

このツールで決めたこと

• 初めの値 $x_0$ = 0.3（ガウスは 0）。3 次の分岐図は ±0.3 の両方から
• カオスニューロンは $k$ = 0.7・$\alpha$ = 1・$\epsilon$ = 0.02 に固定、$x_0$ = 0.1
• エノン写像の $b$ = 0.3 に固定、$y_0$ = 0。$|x|$ が 1000 を超えたら発散
• ガウス写像の幅は 4.9 に固定、$x$ は −1〜1.5 に収める。リッカーは 0〜5.1
• 分岐図の過渡は 500 回から（拡大するほど増やす）、打つ点は 1 列あたり 300〜900 個
• 周期は過渡 4000 回のあと、128 回以内に 10⁻⁷ 以内へ戻るもの
• 超安定な $R_k$ は Newton 法で $k$ = 11 まで（倍精度の限界）
• テント写像の傾き 2 は 2 − 10⁻¹²（2 のままでは浮動小数点で 0 に落ちる）
• 波形の音は毎秒 880 回（周期 2 で 440 Hz）、直流を 10 Hz の高域通過で除く。旋律は毎秒 8 音・220〜880 Hz

出典

1. ロジスティック写像と分岐図R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics,” Nature, vol. 261, pp. 459–467, 1976, doi:10.1038/261459a0
2. δ と普遍性M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations,” Journal of Statistical Physics, vol. 19, pp. 25–52, 1978, doi:10.1007/BF01020332
3. α と普遍関数M. J. Feigenbaum, “The universal metric properties of nonlinear transformations,” Journal of Statistical Physics, vol. 21, pp. 669–706, 1979, doi:10.1007/BF01107909
4. δ・α の値（極大の次数 2〜12）K. Briggs, “A precise calculation of the Feigenbaum constants,” Mathematics of Computation, vol. 57, pp. 435–439, 1991, doi:10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6
5. δ・α・集積点の値OEIS A006890・A006891・A098587
6. 正弦写像と窓の並びN. Metropolis, M. L. Stein, and P. R. Stein, “On finite limit sets for transformations on the unit interval,” Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 15, pp. 25–44, 1973, doi:10.1016/0097-3165(73)90033-2
7. 周期 3T.-Y. Li and J. A. Yorke, “Period three implies chaos,” The American Mathematical Monthly, vol. 82, pp. 985–992, 1975, doi:10.2307/2318254
8. 周期 3 の窓の始まりP. Saha and S. H. Strogatz, “The birth of period three,” Mathematics Magazine, vol. 68, pp. 42–47, 1995
9. クモの巣図・窓と間欠性・リアプノフ指数・テント写像（10 章）S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 2nd ed., Westview Press, 2015
10. 回路での周期倍分岐P. S. Linsay, “Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator,” Physical Review Letters, vol. 47, p. 1349, 1981, doi:10.1103/PhysRevLett.47.1349
11. 値の列の旋律A. Capozucca, M. Fermani, and S. Giorgini, “Listening to the Logistic Map,” Proceedings of Bridges 2017, pp. 443–446
12. ガウス写像R. C. Hilborn, Chaos and Nonlinear Dynamics, 2nd ed., Oxford University Press, 2000
13. リッカー写像W. E. Ricker, “Stock and recruitment,” Journal of the Fisheries Research Board of Canada, vol. 11, pp. 559–623, 1954, doi:10.1139/f54-039
14. エノン写像M. Hénon, “A two-dimensional mapping with a strange attractor,” Communications in Mathematical Physics, vol. 50, pp. 69–77, 1976, doi:10.1007/BF01608556
15. カオスニューロンK. Aihara, T. Takabe, and M. Toyoda, “Chaotic neural networks,” Physics Letters A, vol. 144, pp. 333–340, 1990, doi:10.1016/0375-9601(90)90136-C