土星

計算と描画の流れ

1. 日時（UT）に $\mathrm{\Delta }T$ を足して力学時にする
2. 光行時間だけ前の土星と、今の地球の位置から、地球から見た土星を求める
3. 同じ時刻の自転軸と 8 衛星の位置を求め、環の傾きを出す
4. 衛星ごとに、土星の前・裏・影の中か、影が土星に落ちるかを判定する
5. WebGL2 で画素ごとに土星・環・衛星の前後を決め、模様・周縁減光・環の透け具合・影を描く

土星の位置

土星と地球の日心位置は VSOP87D の級数で求めます[2]。土星は全 5759 項のうち、振幅 × 0.1^p が 3 × 10⁻⁷ 以上の 374 項を残しました（p は時間のべき、動径は閾値を軌道半径の 9.55 倍にする）。全項と比べた誤差は 1900〜2100 年で地心の向き 0.93″ 以下です。地球は月のページと同じ 213 項です。

手順は Meeus 33 章のとおりです[1]。光行時間 $\tau$（67〜92 分）だけ前の土星と今の地球の差をとり、FK5 への補正・年周光行差・章動を入れます。

環の傾き

環は土星の赤道面にあるとします。自転軸は IAU WGCCRE 2015 の式です[3]。$T$ は J2000.0 からのユリウス世紀、$d$ は日です。

$\mathbf{z}$ は北極、$\mathbf{e}$ は地球、$\mathbf{s}$ は太陽への向きです。土星の公転周期は 29.46 年で、自転軸は軌道面に 26.7° 傾くので、この周期で北面と南面が入れ替わります。地球は 1 年で太陽のまわりを回るので、$B$ は $B^{\prime }$ のまわりで 1 年周期に揺れます[4]。

$B$ の符号の変わり目が環の面の通過で、地球が見る環は真横になります。$B$ と $B^{\prime }$ の符号が違うと、照らされていない裏面が見えます。

環の透け具合と色

半径 74000〜141000 km を 4000 点に分けた 1 次元の表を持ちます（1 点 16.75 km）。

• 光学的厚さ $\tau$: Cassini VIMS の γ Cru の恒星掩蔽 32 回の中央値（波長 2.9 µm、10 km 分解能）[5]。測れる最大を超える所は最大の値とする
• 色: Cassini の自然色のモザイク PIA11142 の半径方向の明るさ[6] を、撮影の幾何と $\tau$ から計算した明るさで割り、100 km ほどでならす

モザイクの半径方向の縮尺は場所で変わります（1 画素 5.9〜6.7 km）。掩蔽から計算した明るさとの局所の相関で、画素と半径の対応を折れ線で決めました。薄い間隙は割り算が暴れるので、近い点の色で埋めます。

望遠鏡で見える A・B・C 環とカッシーニの間隙、F 環が表の範囲です。エンケの間隙は幅 322 km で、地球から 0.05″ ほどです。拡大すると線になりますが、実際の写真には写りません。

環の明るさ

環の明るさは単散乱の式で求めます[7]。$\mu$・${\mu }_0$ は地球と太陽の高さの正弦の絶対値です。

$A$ は表の色で、粒子のアルベドと散乱の位相関数が入っています。この式で次の見え方が出ます。

• 環が開くほど、太陽が高いほど明るい
• 表から見ると厚い B 環が明るい
• 裏から見ると薄い C 環とカッシーニの間隙が明るく、厚い B 環は暗い[6]

衝の前後には環が急に明るくなります[8]。Mallama と Hilton の等級の位相角 $\alpha$ の項を環の光だけが受けたとして、次の倍率を掛けます。

環が真横に近いと、画面の幅が 1 画素を切ります。線として残るよう傾きの下限を 1 画素分にし、その分だけ暗くします。

環と土星の前後と影

画素ごとに視線を 1 本とり、土星の楕円体・衛星の球・環の面（$z=0$）との交点を求めます。環が手前なら後ろの光を $\exp (-\tau /\mu )$ 倍に透かして重ね、環が土星の裏なら描きません。衛星も同じ順で重ねます。

• 環の影が土星に: 土星の面の点から太陽へ向かう直線と環の面の交点で $\tau$ を引き、$\exp (-\tau /{\mu }_0)$ を掛ける
• 土星の影が環に: 環の点から太陽へ向かう直線が楕円体に当たるかを調べ、太陽の視直径の幅でぼかす
• 衛星の影: 面の点から見た太陽の円盤のうち、衛星に隠れる割合で暗くする。環の上にも落とす

影は衝のころ土星の真後ろに隠れ、矩のころ最も広く見えます。環の中や後ろの衛星の丸も、同じ $\tau$ で薄くします。

8 衛星

ミマス〜イアペトゥスの位置は Meeus 46 章の式です[1][9]。式は B1950.0 の黄道の座標で、長さは土星の半径の単位です。J2000.0 の赤道へ回し、長さの単位は衛星ごとに Horizons の位置へ当てはめました（60372〜60438 km）。衛星が土星より遠い分だけ光が早く出ているので、衛星ごとに光行時間を足し直します。

等級は Horizons の $V(1,0)$ です[10]。土星の衛星の Horizons の等級に位相の項はありません。イアペトゥスの前と後ろの半球の明るさの違い（10.2〜11.9 等）も入っていません。

すべての衛星

JPL Horizons にある 292 個の衛星を出します[10]。8 衛星のほかは丸と名前だけで、どれも位置の目安です。

環のすぐ外の 15 個は周期が短いので、2015〜2040 年の位置に土星の赤道の面の円軌道を当てはめ、経度に正弦波を 1 つ足しました。ヤヌスとエピメテウスの 4 年ごとの入れ替わりや、トロヤ衛星の秤動がこの波です。差はパンの 6 km からアイガイオンの 5.4 万 km までです。

外側の 269 個は太陽の摂動で軌道が大きく変わるので、2015〜2036 年の 180 日おきの位置と速度を表にしました。間の時刻は両端の状態から 2 体問題で進めた位置を混ぜて求めます。Horizons との差は中央値 7.5 万 km（土星の距離で 11″ ほど）、最大 18 万 km（27″ ほど）です。

フェーベは軌道の図で 1900〜2100 年に出すので、1460 日おきの表を別に持ちます。軌道の図の半径は、フェーベまで 1 枚に入れるため対数です。

名前と群はウィキペディア日本語版の一覧によります[11]。一覧にない 146 個の群は、軌道の傾きから決めました。

現象の判定

楕円体の z を赤道半径 / 極半径 倍に伸ばすと、半径 1 の球になります。衛星の中心 $\mathbf{p}$ から向き $\mathbf{u}$ へのびる直線が球を通るかは、次の値の符号で決まります。

• 土星の前: $\mathbf{u}$ が地球の向きで $g<0$、衛星が地球の側
• 土星の裏（掩蔽）: 同じく $g<0$、衛星が奥
• 影が土星に: $\mathbf{u}$ が太陽の向きで $g<0$、衛星が太陽の側
• 土星の影の中（食）: 同じく $g<0$、衛星が太陽と反対の側

衛星の中心で判定します。5 分刻みで符号の変わり目を探し、二分法で詰めます。内側の衛星の軌道は環とほぼ同じ面にあるので、現象が起こるのは環の傾きが小さい年だけです。

タイタンの影の季節

タイタンは軌道が大きいので、影が土星に落ちるのは太陽が環の面に近い年だけです[12]。2024-11〜2025-10 の季節が終わり、次は 2038〜39 年です。図の陰は土星が地平線の下か昼の時間です。これを除いて観測地で見える回数を数えます。2 つの季節の影は日本の昼に起こるものが多く、東京からは 1 回も見えません。

模様と明るさ

模様は Hubble 宇宙望遠鏡の OPAL の 2025 年の全球の地図です[13]。行ごとの中央値で経度方向にならした帯にしたので、衛星の写り込みと自転の流れは消えます。環で隠れた赤道と撮れていない極は近い行で埋めます。

OPAL の色合成は 395 nm を青に当てるので青みが強く、目で見た色と違います。sRGB の値に 1.12・0.96・0.70 を掛けて淡い黄土色へ寄せました。

地図は周縁減光を Minnaert 則で除いてあります[14]。OPAL の $k$ は赤 0.80・緑 0.65・青 0.40 です。青の値をそのまま掛けると縁が青く光るので、色を寄せた絵に合わせて赤 0.80・緑 0.72・青 0.62 にしました。

等級は環を含む Mallama と Hilton の式です[15]。$r$・$\Delta$ は太陽・地球からの距離 [au]、$\alpha$ は位相角 [°] です。$\beta$ は有効な傾きで、$B$ と $B^{\prime }$ が同符号なら $\sqrt{B{B}^{\prime }}$、異符号なら 0 です。

北極の六角形

六角形は北緯 78° 付近にあります[16]。経度方向にならした帯には写りません。地球から見える緯度の上限は $90°+B$ なので、南面が見えている間（2038 年まで）は縁の向こうに隠れています。

答え合わせ

• JPL Horizons（2015〜2045 年の 6 時点）[10]
  • 地心の位置: 1″ 以内
  • System III の中央子午線: 0.2° 以内（2026 年で 0.05°）
  • 視直径・北極の位置角・位相角・土星中心緯度: 0.01 以内
  • 等級: 0.002 等以内
  • 衛星の離れ: 内側の 6 個 0.25″・ヒペリオン 3.3″・イアペトゥス 0.9″ 以内
  • 東京から見た高度・方位: 0.02° 以内
• Horizons の現象の印（2025・2026・2039 年の数日）[10]
  • 通過と掩蔽の始めと終わり: 多くは 1〜3 分の差
  • ディオネの通過: 8 分の差。Horizons は赤道半径の球で判定し、ディオネは高い緯度を通る
  • レアの通過（2026-12-05）: Horizons は印を出すが、楕円体では縁の外を通る
• PDS Ring-Moon Systems Node[4][17]
  • 環の面の通過 2025-03-23・2025-05-06・2038-10-15・2039-01-22・2039-04-01・2039-07-09: 4 時間以内
  • 傾きの最大 2032-05-12 の −26.94°: 一致
  • Saturn Viewer の図と、環の向き・衛星の位置を見比べた（2026-12-04）
• BAA の 2025 年の観測の記録[12]
  • タイタンの影 5/15 9:34〜15:42 UT: 7 分の差
  • 5〜10 月の影と 10/21 の通過の日付: 一致

このツールで決めたこと

• VSOP87D の打ち切りの閾値（3 × 10⁻⁷、374 項）
• 環を土星の赤道面とすること
• 環の表の範囲と点の数（74000〜141000 km、4000 点）
• 環の明るさの倍率（1.25）と衝の前後の増光の式
• γ Cru の掩蔽を使うこと（環の面から高い星で、厚い所まで測れる）
• 環の色の出し方（PIA11142 の画素と半径の対応、ならす幅 100 km）
• 環を線として残す傾きの下限（1 画素）と、明るさの下限（0.15 倍）
• 模様を帯にすること、色に掛ける値（1.12・0.96・0.70）
• 周縁減光の $k$（0.80・0.72・0.62）
• Meeus 46 章の長さの単位を衛星ごとに当てはめること
• 現象を衛星の中心で判定し、楕円体の縁を使うこと
• 衛星の色（幾何アルベドに比例させた目安）
• 環のすぐ外の衛星を円軌道と正弦波とすること
• 外側の衛星の表の間隔（180 日）
• 一覧にない衛星の群を決める閾値（傾き 40° と 90°）
• 時刻の帯の範囲（今の時刻の前後 12 時間）
• 薄明の陰の範囲（太陽の高度 −0.83°〜−12°）
• 軌道の図の半径を対数にすること

出典

1. 惑星の見かけの位置（33 章）、FK5 への補正（32 章）、土星の衛星（46 章）、章動・歳差・恒星時J. Meeus, Astronomical Algorithms, 2nd ed., Willmann-Bell, 1998
2. 土星と地球の位置の級数 VSOP87DP. Bretagnon and G. Francou, “Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP 87 solutions,” Astron. Astrophys., vol. 202, pp. 309–315, 1988; IMCCE, VSOP87D.sat
3. 土星の形・自転軸・System IIIB. A. Archinal et al., “Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements: 2015,” Celest. Mech. Dyn. Astr., vol. 130, 22, 2018; NAIF, pck00011.tpc
4. 環の傾きと環の面の通過の表（答え合わせ）R. Victor, “Appearance of Saturn's Rings, 2025-2039 and beyond,” Abrams Planetarium, 2025
5. 環の光学的厚さPDS Ring-Moon Systems Node, “COVIMS_8001”（Cassini VIMS の恒星掩蔽の動径分布）; “Occultation observations of Saturn's rings with Cassini VIMS,” arXiv:1907.06980
6. 環の色（NASA/JPL/Space Science Institute）“PIA11142: A Full Sweep of Saturn's Rings,” 2009
7. 環の明るさの単散乱の式“The vertical structure of the F ring of Saturn from ring-plane crossings,” arXiv:1310.2966
8. 環の衝効果H. Salo and R. G. French, “The opposition and tilt effects of Saturn's rings from HST observations,” arXiv:1007.0349
9. Meeus 46 章の移植（MIT ライセンス）commenthol, “astronomia”（saturnmoons）; S. Keys, “meeus”
10. 位置・物理暦・衛星の等級（答え合わせ）、8 衛星以外の衛星の位置、衛星の半径と V(1,0)JPL Solar System Dynamics, “Horizons System”; “Planetary Satellite Physical Parameters”; “Planetary Satellite Mean Elements”
11. 衛星の日本語名と群（CC BY-SA 4.0）ウィキペディア日本語版「土星の衛星」（版を固定）
12. 2025 年のタイタンの影の観測（答え合わせ）BAA, “Saturn 2025 Apparition Notes”
13. 土星の全球の地図（CC BY 4.0）A. A. Simon, M. H. Wong and G. S. Orton, “First results from the Hubble OPAL program: Jupiter in 2015,” Astrophys. J., vol. 812, 55, 2015; MAST, OPAL, DOI 10.17909/T9G593
14. 地図の周縁減光の補正（Minnaert の k）と撮影日MAST, “OPAL Cycle 32 Saturn README”
15. 土星の等級A. Mallama and J. L. Hilton, “Computing apparent planetary magnitudes for The Astronomical Almanac,” Astron. Comput., vol. 25, pp. 10–24, 2018
16. 北極の六角形“Saturn's polar atmosphere,” arXiv:1609.09626
17. 環の区分の半径と図の見た目（答え合わせ）PDS Ring-Moon Systems Node, “Vital Statistics for Saturn's Rings and Inner Satellites”; “Saturn Viewer・Saturn Ephemeris Generator”