音律とうなり

部分音

A 平均律B ———鳴っている音律

純正の位置部分音（ずれ ×10）うなり [回/秒]2 次のうなり

調ごとの長 3 度 [セント]

AB音律C–EC–G

平均律——純正律——ピタゴラス——1/4 コンマ・ミーントーン——1/6 コンマ・ミーントーン——ヴェルクマイスター III——キルンベルガー III——ヴァロッティ——ヤング第 2——比べない

和音・音程

平均律

音程音一致する部分音純正からうなり

全体の音の揺れ2 秒

音周波数平均律から [セント]非調和性 B

音色

ピアノ

ストレッチ

音量音量

動作原理と式

音律とは

2 つの音の高さの比はセントで表します。1 オクターブが 1200 セント、平均律の半音が 100 セントです[1]。

c = 1200 \log_{2} \frac{f_{2}}{f_{1}}

c_{P5} = 1200 \log_{2} \frac{3}{2} = 701.955

c_{M3} = 1200 \log_{2} \frac{5}{4} = 386.314

c_{m3} = 1200 \log_{2} \frac{6}{5} = 315.641

純正の 5 度（3:2）を 12 個積んでも、7 オクターブにちょうどは戻りません。4 個積んで 2 オクターブ下げた音も、純正の長 3 度（5:4）より高くなります。この食い違いがコンマです[2]。

κ_{P} = 12 c_{P5} - 7 \cdot 1200 = 1200 \log_{2} \frac{531441}{524288} = 23.460

κ_{S} = 4 c_{P5} - 2 \cdot 1200 - c_{M3} = 1200 \log_{2} \frac{81}{80} = 21.506

κ_{sch} = κ_{P} - κ_{S} = 1200 \log_{2} \frac{32805}{32768} = 1.954

$κ_{P}$: ピタゴラス・コンマ。5 度を 12 個積んだときのあまり
$κ_{S}$: シントニック・コンマ。5 度を 4 個積んだ 3 度（81:64）と純正の長 3 度の差
$κ_{sch}$: スキスマ。2 つのコンマの差

鍵盤の 12 音は、E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯ と 11 個の 5 度でつなぎます。連鎖の $i$ 番目の音から次の音への 5 度を純正より $ε_{i}$ だけ狭めます（負なら広げる）。12 個目の G♯–E♭ まで含めて輪が閉じる条件から、狭める量の合計はピタゴラス・コンマになります[2]。音律の違いは、このコンマを 12 個の 5 度にどう配るかの違いです。

c_{5, i} = c_{P5} - ε_{i}, \sum_{i = 0}^{11} ε_{i} = κ_{P}

平均律: 12 個すべてを $κ_{P} / 12 = 1.955$ セントずつ狭める。どの調も同じ響きになる
ピタゴラス: 11 個を純正にし、コンマをすべて G♯–E♭ に負わせる
ミーントーン: 11 個を同じだけ狭め、余りを G♯–E♭ に負わせる。1/4 コンマでは長 3 度が純正になる
循環音律（ヴェルクマイスター III・キルンベルガー III・ヴァロッティ・ヤング第 2）: 一部の 5 度だけを狭め、残りを純正にする。どの調でも弾けるが、調ごとに響きが違う

うなりの式

2 つの音を同時に鳴らすと、近い周波数の部分音どうしが重なり、差の周波数で強弱をくり返します。これがうなりです[3]。純正の音程 $n : m$ では、下の音の第 $n$ 部分音と上の音の第 $m$ 部分音が一致します。音程が純正からずれると、この 2 つの部分音がうなります。

β = | f_{L, n} - f_{U, m} |, f_{L, n} = n f_{L}, f_{U, m} = m f_{U}

Δ c = 1200 \log_{2} \frac{f_{U, m}}{f_{L, n}}, β \approx \frac{\ln 2}{1200} f_{L, n} | Δ c |

$f_{L}, f_{U}$: 下の音と上の音の第 1 部分音
$β$: うなりの速さ [回/秒]。一致する部分音の周波数の差
$Δ c$: 一致する部分音どうしのずれ [セント]。整数倍の部分音なら、音程の純正からのずれと同じ。正なら純正より広い

うなりの速さは一致する部分音の周波数に比例するので、同じセントのずれでも、高い音ほど、高い部分音で一致する音程ほど速くうなります。下の表は A4 = 440 Hz の平均律で、C4 から上へ取った音程です。C4〜C5 の値は Reblitz の表と一致します[3]。1 オクターブ下の F3–A3 では、長 3 度のうなりは $6.93$ 回/秒です。

音程	例	純正の比	一致する部分音（下・上）	平均律の Δc [セント]	うなり [回/秒]
オクターブ	C4–C5	2:1	第 2・第 1	0	0
完全 5 度	C4–G4	3:2	第 3・第 2	−1.96	0.886
完全 4 度	C4–F4	4:3	第 4・第 3	+1.96	1.18
長 3 度	C4–E4	5:4	第 5・第 4	+13.69	10.38
短 3 度	C4–E♭4	6:5	第 6・第 5	−15.64	14.12
長 6 度	C4–A4	5:3	第 5・第 3	+15.64	11.87
長 10 度	C4–E5	5:2	第 5・第 2	+13.69	10.38
完全 12 度	C4–G5	3:1	第 3・第 1	−1.96	0.886
長 17 度	C4–E6	5:1	第 5・第 1	+13.69	10.38

和音: 2 音ずつの組（3 音なら 3 組、4 音なら 6 組）ごとに、一致する部分音とうなりを求める。長三和音では長 3 度・完全 5 度・短 3 度の 3 組
10 度・17 度: 長 3 度をオクターブ広げた音程。下の第 5 部分音が、上の第 2・第 1 部分音と一致する。整数倍の部分音なら長 3 度と同じ速さでうなる
正弦波: 部分音が第 1 だけなので、一致する部分音がない。それでも比が純正からずれた音程では、同じ速さ $β$ の 2 次のうなりが聞こえる（下の「2 次のうなり」）

純正の目盛り

上の図は周波数を等間隔に並べます。部分音は第 1 部分音の整数倍なので、どの音の部分音も等間隔に並びます。和音を純正にしたときの周波数の比（長三和音なら 4:5:6）を $r_{k}$ とすると、音 $k$ の第 $n$ 部分音は、純正なら $F_{0}$ の $n r_{k}$ 倍の目盛りに来ます。2 つの音の部分音が同じ目盛りに来る所が、一致する部分音です。点は実際の部分音で、目盛りからのずれを {KX} 倍にして描きます。

F_{0} = \frac{f_{1}}{r_{1}}, u_{k, n} = n r_{k} + {KX} (\frac{f_{k, n}}{F_{0}} - n r_{k})

$r_{k}$: 和音の音 $k$ の純正な比（根音が $r_{1}$ ）。部分音が一致する組をたどって決める。属七の和音は 20:25:30:36（B♭ は G の短 3 度上）
$F_{0}$: 目盛りの間隔 [Hz]。根音の第 1 部分音 $f_{1}$ を $r_{1}$ で割った値
$u_{k, n}$: 音 $k$ の第 $n$ 部分音 $f_{k, n}$ を描く位置（ $F_{0}$ の何倍か）

ずれは、音律が純正からずらした分と、ピアノでは弦の非調和性で高い部分音ほど上がる分の和です。同じ目盛りの 2 つの点が離れているほど、速くうなります。一致する部分音の組は 1 倍の組のほか、2 倍・3 倍…の組（長三和音の C の第 6 と G の第 4 部分音など）も、両方が鳴っていれば描きます。

うなりの包絡

一致する 2 つの部分音の振幅を $a$ ・ $b$ とすると、和の振幅は 2 つの位相の差で決まり、 $1 / β$ 秒ごとに大きくなったり小さくなったりします。うなりの灯りは、これを振幅の和で割った $E (t)$ で描きます。

a \sin 2 π f_{L, n} t + b \sin 2 π f_{U, m} t = A (t) \sin (2 π f_{L, n} t + φ (t))

A (t) = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos 2 π β t}, E (t) = \frac{A (t)}{a + b}

$E$ は 1 と $| a - b | / (a + b)$ の間を行き来します。2 つの振幅が近いほど、深くうなります。

2 次のうなり

一致する部分音がなくても、2 つの音の比が簡単な整数比から少しずれると、うなりが聞こえます。正弦波（純音）どうしでも聞こえ、2 次のうなり（second-order beats、beats of mistuned consonances）と呼ばれます。速さは上の $β$ と同じ式で、下の音の $n$ 倍と上の音の $m$ 倍の差です[17][18]。平均律の C4–E4 なら、正弦波でもオルガンと同じ $10.38$ 回/秒です。

2 つの正弦波を足した音は、音の大きさ（実効値）が揺れません。波の形が $1 / β$ 秒ごとに同じ移り変わりをくり返し、耳の神経の処理がそれをうなりとして捉えます[18]。Plomp は耳の中の歪みでできる倍音や結合音の周波数を雑音で隠しても聞こえることを確かめました。基底膜の振動の形の周期的な変化が神経の発火の時間のパターンに表れるためと考えました[17]。下の音がおよそ 1500 Hz より低いときに聞こえます[18]。

このツールでは、一致する部分音のどちらかが鳴らない組（正弦波ではすべての組）を 2 次のうなりとし、速さに「2 次」と添えます。灯りは同じ速さで浅く明滅させます。

全体の音の揺れ

グラフは、鳴っているすべての部分音を足した波の山の高さです。部分音 $j$ の周波数を $F_{0}$ の $k_{j}$ 倍とずれ $δ_{j}$ に分けると、共通の周期の中の波形は $δ_{j}$ の分だけ少しずつ形を変えます。時刻 $t$ の山 $P (t)$ は、その波形の最大を振幅の和で割った値です。

f_{j} = k_{j} F_{0} + δ_{j}, P (t) = \frac{\max_{θ} \sum_{j} a_{j} \sin (k_{j} θ + 2 π δ_{j} t)}{\sum_{j} a_{j}}

一致する部分音が鳴る組では、うなりの包絡と同じ速さで揺れます。正弦波では音の大きさ（実効値）は揺れませんが、山の高さは 2 次のうなりの速さで揺れます。平均律の C4 の長三和音では 0.68〜1.00、長 3 度 C4–E4 では 0.94〜1.00 です。和音が純正の比で部分音がちょうど整数倍なら、 $δ_{j}$ がすべて 0 なので揺れません。

計算の流れ

音律・主音12 音のずれ（A を 0 に）
和音の音第 1 部分音の周波数
部分音周波数（非調和性）と振幅
音の組一致する部分音
うなり速さ・ずれ・灯り
全体の音波の山の高さ
加算合成部分音ごとの正弦波

調によって響きが変わる理由

長三和音の 3 度の音は、根音から 5 度の連鎖を 4 つ進んだ音です。そのため 3 度の大きさは、間の 4 つの 5 度をどれだけ狭めたかで決まります。短 3 度は、連鎖を逆向きに 3 つ戻った音です。

Δ_{M3} = κ_{S} - \sum_{j = 0}^{3} ε_{i + j}, Δ_{m3} = \sum_{j = 1}^{3} ε_{i - j} - κ_{S}, Δ_{P5} = - ε_{i}

$Δ_{M3}, Δ_{m3}, Δ_{P5}$: 根音が連鎖の $i$ 番目の音のときの、長 3 度・短 3 度・5 度の純正からのずれ [セント]

平均律: $Δ_{M3} = κ_{S} - κ_{P} / 3 = + 13.69$ セントで、どの調でも同じ
1/4 コンマ・ミーントーン: 4 つで $κ_{S}$ を狭めるので、長 3 度が純正になる
循環音律: 狭めた 5 度が C のまわり（F–C–G–D–A–E–B）に集まる。C・G・F など近い調の 3 度は純正に近く、4 つの 5 度がすべて純正の F♯・C♯・A♭ の調では、ピタゴラスの 3 度（+21.5 セント）になる

下の表は、主和音の長 3 度の純正からのずれ [セント] です。循環音律の目的は、よく使う調ほど協和させることでした[2]。ヤングは C からの転調の順に近い調ほど和声を完全にすると書いています[4]。たとえばヴェルクマイスター III の C4 の長 3 度は $2.98$ 回/秒で、平均律の約 1/3 の速さでうなります。

音律	C	G	D	A	E	B	F♯	C♯	A♭	E♭	B♭	F
平均律	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7	+13.7
純正律	0	0	0	+41.1	+41.1	+41.1	+19.6	0	0	0	+21.5	0
ピタゴラス	+21.5	+21.5	+21.5	+21.5	+21.5	−2.0	−2.0	−2.0	−2.0	+21.5	+21.5	+21.5
1/4 コンマ・ミーントーン	0	0	0	0	0	+41.1	+41.1	+41.1	+41.1	0	0	0
1/6 コンマ・ミーントーン	+7.2	+7.2	+7.2	+7.2	+7.2	+26.7	+26.7	+26.7	+26.7	+7.2	+7.2	+7.2
ヴェルクマイスター III	+3.9	+9.8	+9.8	+15.6	+15.6	+15.6	+21.5	+21.5	+21.5	+15.6	+9.8	+3.9
キルンベルガー III	0	+5.4	+10.8	+14.2	+19.6	+19.6	+19.6	+21.5	+21.5	+16.1	+10.8	+5.4
ヴァロッティ	+5.9	+5.9	+9.8	+13.7	+17.6	+21.5	+21.5	+21.5	+17.6	+13.7	+9.8	+5.9
ヤング第 2	+5.9	+5.9	+5.9	+9.8	+13.7	+17.6	+21.5	+21.5	+21.5	+17.6	+13.7	+9.8

ウルフ

5 度: 連鎖の端をつなぐ G♯–E♭ は、コンマの余りをすべて負う。1/4 コンマ・ミーントーンでは純正より 35.7 セント広い 737.6 セント、1/6 コンマでは 717.9 セント、ピタゴラスでは 23.5 セント狭い 678.5 セントになる[2]
3 度: ミーントーンの B–E♭・F♯–B♭・C♯–F・G♯–C は、鍵盤の上では長 3 度でも、実は減 4 度になる。1/4 コンマでは 427.4 セントで、純正より 41.1 セント広い。上の表で B・F♯・C♯・A♭ の調が大きく外れるのはこのため
うなり: 1/4 コンマ・ミーントーンの C♯4 の長三和音（実は C♯–F）では、3 度が $33.00$ 回/秒でうなる

ピアノの弦の非調和性とストレッチ

弦には曲げ剛性があるので、高い部分音ほど整数倍より高くなります[5]。第 1 部分音 $f_{1}$ を基準にすると、第 $n$ 部分音は次のとおりです。

f_{n} = n f_{1} \sqrt{\frac{1 + B n^{2}}{1 + B}}, B = \frac{π^{2} E I}{T L^{2}}

$B$: 非調和性係数
$E I$: 曲げ剛性（巻弦は芯線で決まる）
$T, L$: 張力と、振動する長さ

B の大きさ

このツールの $B$ は、ピアノ音響モデルの弦の寸法から鍵ごとに求めます。実測では、グランドの最低音で約 $2 \times 10^{- 4}$ です[6]。中音域の計算には $4 \times 10^{- 4}$ 〜 $2 \times 10^{- 3}$ が使われています[7]。低音の巻弦で小さく、高音へ向けて急に増え、 $10^{- 2}$ の桁に達します[8]。短い弦ほど大きいので、小さいピアノほど中音・低音の $B$ が大きくなります。

ピアノ	A0	C2	C3	C4	A4	C6	C8
コンサートグランド	$1.0 \times 10^{- 4}$	$1.0 \times 10^{- 4}$	$1.8 \times 10^{- 4}$	$3.3 \times 10^{- 4}$	$6.7 \times 10^{- 4}$	$2.4 \times 10^{- 3}$	$2.0 \times 10^{- 2}$
グランド	$1.6 \times 10^{- 4}$	$1.5 \times 10^{- 4}$	$2.5 \times 10^{- 4}$	$3.8 \times 10^{- 4}$	$7.0 \times 10^{- 4}$	$2.5 \times 10^{- 3}$	$2.0 \times 10^{- 2}$
アップライト	$2.9 \times 10^{- 4}$	$2.3 \times 10^{- 4}$	$4.5 \times 10^{- 4}$	$4.8 \times 10^{- 4}$	$7.8 \times 10^{- 4}$	$2.5 \times 10^{- 3}$	$2.0 \times 10^{- 2}$

うなりがどう変わるか

下の音の高い部分音ほど上へずれるので、一致する部分音の組は整数倍のときより広い側へずれます。

広い音程（平均律の長 3 度・4 度・6 度）: うなりが遅くなる。4 度は、 $B$ が大きいとほとんどうならない
狭い音程（平均律の 5 度）: うなりが速くなる
10 度・17 度: 長 3 度と同じ速さではなくなる。上の音の第 1 部分音で一致する 17 度は、上の部分音が上へずれないので、10 度より遅くなる
オクターブ: 第 1 部分音を平均律のままにすると、下の第 2 部分音が上の第 1 部分音より高く、うなる

平均律の第 1 部分音のまま、A4 = 440 Hz で比べたうなり [回/秒] です。右端の列だけ、ストレッチ（下の節）をかけています。

音程	例	整数倍	コンサートグランド	アップライト	コンサートグランド・ストレッチ
長 3 度	C4–E4	10.38	9.57	8.52	9.57
長 3 度	F3–A3	6.93	6.45	5.44	7.25
完全 5 度	C4–G4	0.886	1.27	1.60	1.27
完全 4 度	C4–F4	1.18	0.589	0.052	0.589
オクターブ	C4–C5	0	0.263	0.380	0
長 10 度	C4–E5	10.38	7.52	5.38	8.41
長 17 度	C4–E6	10.38	5.14	2.81	8.41

オクターブの合わせ方

非調和性があると、オクターブのどの部分音どうしをそろえるかで、オクターブの幅が変わります。下の第 $2 k$ 部分音と上の第 $k$ 部分音をそろえるオクターブを $2 k : k$ と呼びます。電子式の調律器は 4:2 か 6:3、またはその間を使い、6:3 のほうが広く伸びます[8]。

f_{L, 2 k} = f_{U, k} ⟹ 1200 \log_{2} \frac{f_{U}}{2 f_{L}} = 600 \log_{2} \frac{(1 + 4 k^{2} B_{L}) (1 + B_{U})}{(1 + B_{L}) (1 + k^{2} B_{U})}

このツールのコンサートグランドの C4–C5 では、第 1 部分音どうしがちょうど 2 倍のオクターブより、2:1 で $+0.87$ 、4:2 で $+2.11$ 、6:3 で $+4.16$ セント広くなります。部分音の式から、次の 2 つの音程が同じ速さでうなれば、それぞれのオクターブがそろっていることが分かります。真ん中の音の同じ部分音を、両方の音程が使うためです。

4:2: オクターブ L–U の間の音 X で、4 度 L–X と 5 度 X–U（どちらも X の第 3 部分音）。または、L の長 3 度下の音 Y で、長 3 度 Y–L と長 10 度 Y–U（どちらも Y の第 5 部分音）
6:3: オクターブ L–U の間の音 X で、短 3 度 L–X と長 6 度 X–U（どちらも X の第 5 部分音）

ストレッチ

耳で合わせたピアノは、高音ほど高く、低音ほど低くずれています。Railsback が測ったこの曲線の原因は、弦の非調和性です[9]。このツールのストレッチは、ピアノ音響モデルと同じ調律です。

A3〜A4: 第 1 部分音を平均律にする
それより上: 第 1 部分音を 1 オクターブ下の第 2 部分音に合わせる（2:1）
それより下: 自分の第 4 部分音を 1 オクターブ上の第 2 部分音に合わせる（4:2）

コンサートグランドでは、平均律から A0 が $−3.1$ セント、C8 が $+27.2$ セントずれます。低音側は、弦の非調和性だけでは −3 セントほどしか説明できず、実際のピアノはもっと低く合わせられています[6]。ストレッチでは E5–E6 も 2:1 になるので、C4–E5 の長 10 度と C4–E6 の長 17 度は、同じ $8.41$ 回/秒でうなります。

各音律の定義

どの 5 度を何セント狭めるかで、音律を決めます。純正律だけは C からの比で決めます。値は Barbour の表[2]と Scala の音階集[10]で照合しました。

音律	狭める 5 度	狭める量	出典
平均律	12 個すべて	$κ_{P} / 12 = 1.955$	—
純正律	比で決める。C 1/1、C♯ 16/15、D 9/8、E♭ 6/5、E 5/4、F 4/3、F♯ 45/32、G 3/2、A♭ 8/5、A 5/3、B♭ 16/9、B 15/8。D–A と E♭–B♭ が 40/27（680.4）、F♯–C♯ が 19.6 広い	—	[2][10]
ピタゴラス	なし。G♯–E♭ がウルフ（678.5）	—	[2][10]
1/4 コンマ・ミーントーン	E♭–B♭ から C♯–G♯ までの 11 個。G♯–E♭ がウルフ（737.6）	$κ_{S} / 4 = 5.377$	[2][10]
1/6 コンマ・ミーントーン	E♭–B♭ から C♯–G♯ までの 11 個。G♯–E♭ がウルフ（717.9）	$κ_{S} / 6 = 3.584$	[2][10]
ヴェルクマイスター III	C–G・G–D・D–A・B–F♯	$κ_{P} / 4 = 5.865$	[2][10][11]
キルンベルガー III	C–G・G–D・D–A・A–E と、F♯–C♯	$κ_{S} / 4 = 5.377$ と $κ_{sch} = 1.954$	[10][12]
ヴァロッティ	F–C・C–G・G–D・D–A・A–E・E–B	$κ_{P} / 6 = 3.910$	[10][13]
ヤング第 2	C–G・G–D・D–A・A–E・E–B・B–F♯（ヴァロッティを 5 度 1 つ分ずらしたもの）	$κ_{P} / 6 = 3.910$	[2][4][10]

12 音のセント値（主音 C、C = 0）です。表と鍵盤の A♭ が、5 度の連鎖の端の G♯ に当たります。

音律	C♯	D	E♭	E	F	F♯	G	A♭	A	B♭	B
平均律	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0	600.0	700.0	800.0	900.0	1000.0	1100.0
純正律	111.7	203.9	315.6	386.3	498.0	590.2	702.0	813.7	884.4	996.1	1088.3
ピタゴラス	113.7	203.9	294.1	407.8	498.0	611.7	702.0	815.6	905.9	996.1	1109.8
1/4 コンマ・ミーントーン	76.0	193.2	310.3	386.3	503.4	579.5	696.6	772.6	889.7	1006.8	1082.9
1/6 コンマ・ミーントーン	88.6	196.7	304.9	393.5	501.6	590.2	698.4	787.0	895.1	1003.3	1091.9
ヴェルクマイスター III	90.2	192.2	294.1	390.2	498.0	588.3	696.1	792.2	888.3	996.1	1092.2
キルンベルガー III	90.2	193.2	294.1	386.3	498.0	590.2	696.6	792.2	889.7	996.1	1088.3
ヴァロッティ	94.1	196.1	298.0	392.2	502.0	592.2	698.0	796.1	894.1	1000.0	1090.2
ヤング第 2	90.2	196.1	294.1	392.2	498.0	588.3	698.0	792.2	894.1	996.1	1090.2

鍵盤の図に書く平均律からのずれは、セント値から平均律の値を引き、A が 0 になるようにそろえた値です。主音 $t$ を選ぶと、音律の C をその音へ移します。第 1 部分音は基準ピッチ $f_{A4}$ から求めます。

d_{p} = c_{p} - 100 p, d_{p}^{'} = d_{(p - t) \mod 12} - d_{(9 - t) \mod 12}

f_{1} = f_{A4} 2^{(N - 69) / 12 + (d_{p}^{'} + s_{N}) / 1200}

$c_{p}$: ピッチクラス $p$ （C = 0 〜 B = 11）のセント値（上の表）
$N$: 音の番号（MIDI と同じ。C4 = 60、A4 = 69）
$s_{N}$: ストレッチのずれ（ピアノでストレッチを選んだときだけ）

A をそろえるので、純正律では C が平均律より 15.6 セント高くなります。

異なる流儀

ヴェルクマイスター III: 1691 年の本の並びでは 1 番目なので、I とも呼ばれる。Werckmeister はどちらのコンマかを書いていない。ふつうはピタゴラス・コンマの 1/4 で計算する[11]
ヴァロッティ: 今ヴァロッティと呼ばれている版は、本人の版と違うという説がある。本人の版は、同じ 6 つの 5 度をシントニック・コンマの 1/6 ずつ狭め、B♭–F をスキスマだけ狭める。耳ではほとんど区別できないとされる[13]
ピタゴラスのウルフ: G♯–E♭ のほか、F♯–D♭[14]や C♯–A♭[15]に置く流儀もある
純正律の D: D を 10/9（B♭ を 9/5）にする流儀もある[16]。G–D が 680.4 セントのウルフになり、属和音 G–B–D が濁る。D = 9/8 なら、C 長調の I・IV・V の和音をすべて純正にできる
ヤングの 1 番と 2 番: Scala の音階集では、2 番は young.scl に当たる。young2.scl は 1 番に近い別の音律[10]

このツールで決めたこと

5 度の連鎖は E♭〜G♯ にし、ピタゴラスとミーントーンのウルフを G♯–E♭ に置く。主音を変えると、連鎖ごと移す
純正律は C 長調の 5 限界（D = 9/8、B♭ = 16/9）。主音を変えると、その長調の純正律になる
ヴェルクマイスター III はピタゴラス・コンマの 1/4、1/6 コンマ・ミーントーンはシントニック・コンマの 1/6、ヴァロッティは今ヴァロッティと呼ばれている版
A4 は基準ピッチのまま。どの音律・主音でも A をそろえる
一致する部分音は第 10 部分音までで探す。純正の比を決めていない音程（2 度・増 4 度・7 度）と、第 10 より上で一致する音程（短 10 度 12:5 など）は、うならない組として扱う
部分音の振幅（第 1 部分音を 1 にする）
- 正弦波: 第 1 部分音だけ
- オルガン: $1 / n$ で第 8 部分音まで。40 ms で立ち上げて鳴らし続ける
- ピアノ: 打弦点を弦の 1/8 とした $| \sin (π n / 8) | / n$ で第 10 部分音まで（第 8 部分音が抜ける）
ピアノの減衰: 部分音ごとの指数の減衰で、時定数は $τ_{n} = τ_{0} / (1 + 0.18 n)$ 。 $τ_{0}$ は C5 以下で 4 s、C5 より上で 2.2 s
ピアノは 4.4 秒ごとに打ち直す
すべての部分音を同じ時刻に位相 0 で鳴らし始める。うなりの包絡は鳴り始めで最大になる
うなりの灯りは、一致する 2 つの部分音の振幅（ピアノは減衰の前の値）で求めた $E (t)$ で描く。灯りは $E^{2}$ で明るさを変え、部分音が一致しない組は暗く、純正の組は点けたままにする。2 次のうなりの灯りは 0.2〜1 の間で明滅させる
全体の音の揺れのグラフは、鳴り始めから 2 秒を 300 点で描く。ピアノは 600 点で求め、その時刻の振幅の和で割って減衰を除く。非調和性で高い部分音の位相が速く回る細かな震えは 30 ms の移動平均でならす。縦軸は値の範囲に合わせて 0.1 刻みで広げる
純正の目盛りの色は、部分音が一致する組が 3 つまでなら組ごとに分ける。4 つ以上の和音（属七の和音・開いた長三和音）では、表や拡大図で選んだ組だけに色をつけ、ほかの組は灰色の帯にする
ピアノの $B$ とストレッチは、ピアノ音響モデルの弦と調律（コンサートグランド・グランド・アップライト）をそのまま使う
調ごとの表は、選んだオクターブに主音を置いた主和音の 3 度（短調は短 3 度）と 5 度
音律の表の右の 2 列は、今の根音の主和音の 3 度（短調は短 3 度）と 5 度の、純正からのずれ
音律 A と B を 2.2 秒ごとに入れ替えて鳴らす
音量は、鳴らす部分音の振幅の和（波形の最大）をフルスケールにしたときを 0 dB とする。既定は −14 dB（楽器のページと同じ）

出典

セントA. J. Ellis, “On the Musical Scales of Various Nations,” Journal of the Society of Arts, vol. 33, pp. 485–527, 1885
コンマ、5 度の連鎖による音律の定義と 12 音の値（Table 22・34・80・99・140・145）、ウルフ、循環音律の目的（pp. 156–163）J. M. Barbour, Tuning and Temperament: A Historical Survey, Michigan State College Press, 1951
うなりの速さ（周波数の差）、平均律の C4〜C5 のうなりの表（A. Reblitz, Piano Servicing, Tuning, and Rebuilding, 2nd ed., 1993, p. 225 の転載）Wikipedia “Piano tuning”
ヤング第 2 の定義と、C に近い調ほど和声を完全にするという目的（pp. 143–147）T. Young, “Outlines of Experiments and Inquiries Respecting Sound and Light,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 90, pp. 106–150, 1800, doi:10.1098/rstl.1800.0008
硬い弦の部分音H. Fletcher, “Normal Vibration Frequencies of a Stiff Piano String,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 36, no. 1, pp. 203–209, 1964
最低音の B の実測、2:1 のオクターブから求めたストレッチと、低音側を非調和性だけでは説明できないことL. I. Ortiz-Berenguer, F. J. Casajús-Quirós, M. Torres-Guijarro, and J. A. Beracoechea, “Piano Transcription Using Pattern Recognition: Aspects on Parameter Extraction,” Proc. 7th International Conference on Digital Audio Effects (DAFx-04), 2004
中音域の B の範囲X. Gràcia and T. Sanz-Perela, “The wave equation for stiff strings and piano tuning,” Reports@SCM, arXiv:1603.05516
鍵盤全体の B（図 4）、電子式の調律器の 4:2・6:3 のオクターブH. Hinrichsen, “Entropy-based tuning of musical instruments,” Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 34, no. 2, 2012, arXiv:1203.5101
ストレッチ調律（Railsback の曲線）と、その原因が弦の非調和性であることO. L. Railsback, “Scale Temperament as Applied to Piano Tuning,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 9, no. 3, p. 274, 1938, doi:10.1121/1.1902056。あわせて Wikipedia “Piano acoustics”
12 音の値の照合（werck3・kirnberger・vallotti・young・young2・pyth_12・meanquar・meansixth・malcolm）Huygens-Fokker Foundation, Scala scale archive
ヴェルクマイスター III（番号とコンマ）Wikipedia “Werckmeister temperament”
キルンベルガー IIIWikipedia “Kirnberger temperament”
ヴァロッティ（今の版と本人の版）Wikipedia “Vallotti temperament”
ピタゴラスのウルフを F♯–D♭ に置く例Wikipedia “Pythagorean tuning”
ピタゴラスのウルフを C♯–A♭ に置く例K. Gann, “An Introduction to Historical Tunings”
純正律の D を 10/9 にする流儀Wikipedia “Five-limit tuning”
2 次のうなりの速さ、耳の中の倍音・結合音では説明できないこと、波形の周期的な変化による説明R. Plomp, “Beats of Mistuned Consonances,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 42, no. 2, pp. 462–474, 1967, doi:10.1121/1.1910602
2 次のうなりの速さ（オクターブ・5 度・4 度）、振幅の変化がなく神経の処理で生じること、下の音が約 1500 Hz より低いときに起こることB. Truax (ed.), Handbook for Acoustic Ecology, “Beats”

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