マクスウェルの悪魔

悪魔の思考実験

同じ温度の気体を仕切りで 2 部屋に分け、仕切りの扉を分子 1 個ずつ見分けて開け閉めする存在を考えます。速い分子だけを右へ、遅い分子だけを左へ通すと、右が熱く左が冷たくなります [1]。扉を開けて元の位置に閉じれば、扉の重さにかかわらず、扉にした仕事の収支は 0 です。熱が低温から高温へひとりでに移ることになり、熱力学第二法則に反します。この温度差で熱機関を回せば、周りの熱だけを仕事に変え続ける第二種永久機関になります。

気体のモデル

分子は平面を動く同じ大きさの円板で、分子どうしと壁に弾性衝突します。全体の運動エネルギーは変わりません。部屋の温度は、その部屋の分子 1 個あたりの運動エネルギーから決めます。平面の分子は運動の向きが 2 つなので、1 個あたりの平均は $kT$ です。

記号: $N_i$ は部屋 $i$（左か右）の分子の数、$m$ は分子の質量、$k$ はボルツマン定数です。

速さの分布としきい値

衝突をくり返すと、速さは平面のマクスウェル分布に近づきます。初めの 300 K では速さの中央値が約 350 m/s で、しきい値の既定はこの値です。しきい値より速い分子と遅い分子がほぼ半分ずつになります。

気体のエントロピー

気体のエントロピーは、悪魔が気体について知っていることから数えます [5]。基準は扉を閉じた時点で、初めの状態は 0 です。このとき悪魔は、左右に何個ずつあるかを知りません。温度の項と、左右の数の項の和です。

記号: $\Delta$ は扉を閉じた時点からの変化、$\overline{T}$ は全体の平均の温度、$N$ は分子の総数です。$N_0$ は閉じた時点の左の数で、悪魔から見ると確率 $\frac{N!}{N_0!(N-N_0)!}{2}^{-N}$ のどれかです。$H$ はその不確かさ（シャノンエントロピー）、$E$ はその確率での平均です。

• 悪魔は通した数の差し引きを知っており、今の左の数は閉じた時点の数にそれを足した値
• 扉に分子が来ると、来た側に 1 個以上いることがわかる。ありうる $N_0$ の範囲が狭まり、左右の数の項が下がる
• 何も知らない間、左右の数の項は 0。左右の数がかたよったと知るほど負になる
• 扉が開いている間は、分子が見られずに行き来するので悪魔は何も知らない。気体は 0 と数え、扉を閉じたらその時点を新しい基準にする

記録と消去

悪魔は判断のたびに、通したか通さなかったかの 1 ビットを記録します。1 ビットの記録のエントロピーは最大で $k\ln 2$ です。記憶は有限なので、いずれ消して空ける必要があります。1 ビットを消すと、周りに少なくとも $kT\ln 2$ の熱が出ます [3]。測定そのものは原理上、熱を出さずに行えます。悪魔が払う代償は記録の消去です [4]。

記号: $n$ は消したビット数です。

図の収支の「合計」は、気体と消去の熱だけの和です。記録は、消すときに払う熱として点線の枠で別に描き、合計には入れません。1 ビットの記録は、消すときに少なくとも $k\ln 2$ の熱に変わります。そのため記録を消すまでの間は、合計が負になることがあります。悪魔は消去の熱というツケを払うまでの間だけ、第二法則を破って見えます。記録を消すと熱が出て、合計は取り戻されます。記録まで含めた合計は、どの瞬間も負になりません [5]。

分子 1 個のとき

分子が 1 個なら、扉に初めて来たときに左右どちらにいるかがわかり、悪魔から見た分子の動ける広さが半分になります。気体のエントロピーは $-k\ln 2$、記録は 1 ビットで、合計は 0 のままです。これはシラードの 1 分子のエンジンと同じ状況です [2]。このページで記憶の容量を 1 ビットにすると、悪魔は次の判断の前に毎回記録を消すことになり、シラードの設定と同じになります。仕切りをピストンにして分子に押させると、1 回に $kT\ln 2$ の仕事を取り出せます。ただし次の回のために記録を消すと、同じ $kT\ln 2$ 以上の熱が出ます。差し引きで仕事は残りません。

出典

1. 悪魔の思考実験J. C. Maxwell, Theory of Heat, Longmans, Green, and Co., London, 1871
2. 1 分子のエンジンと測定の代償L. Szilard, Über die Entropieverminderung in einem thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen, Zeitschrift für Physik, Vol. 53, No. 11–12, pp. 840–856, 1929
3. 消去で出る熱（ランダウアーの原理）R. Landauer, Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process, IBM Journal of Research and Development, Vol. 5, No. 3, pp. 183–191, 1961
4. 測定ではなく消去が代償であることC. H. Bennett, The thermodynamics of computation—a review, International Journal of Theoretical Physics, Vol. 21, No. 12, pp. 905–940, 1982
5. 悪魔の知識から数えるエントロピーJ. M. R. Parrondo, J. M. Horowitz, T. Sagawa, Thermodynamics of information, Nature Physics, Vol. 11, No. 2, pp. 131–139, 2015

このツールで決めたこと

• 分子の質量は窒素の分子とし、初めの温度は左右とも 300 K
• 分子は平面の円板で、仕切りをはさんだ分子どうしはぶつからない
• 扉は摩擦なく動き、開けたあと元の位置に閉じる。扉にした仕事は 0
• 温度の差の悪魔は、左から来たしきい値より速い分子と、右から来た遅い分子だけを通す
• 圧力の差の悪魔は、左から来た分子だけを通す
• 判断 1 回を 1 ビットと数え、手で操作するときは開けると閉じるを 1 回ずつ数える
• 悪魔が扉に来た分子から知るのは、来た側と、通したかどうかだけとする
• 記憶が満杯のまま次のビットを書くときは、そのとき記録にあるビットを全部消してから書く。容量が 1 ビットなら判断のたびに消す